Löser für quadratische Gleichungen
Lösen Sie jede quadratische Gleichung und sehen Sie ihre Lösungen und die Diskriminante.
Zwei reelle Wurzeln
- 1
b²
(-3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
Diskriminante
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
Formel
How this is calculated
Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0, wobei a, b und c die Zahlen sind, die du eingibst. Der Koeffizient a multipliziert x² und darf nicht null sein — wäre er es, wäre die Gleichung linear und nicht quadratisch. Der Koeffizient b multipliziert x, und c ist der eigenständige konstante Term. Der Löser wendet die quadratische Lösungsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a an, die die exakten x-Werte liefert, an denen die Parabel die Null schneidet.
Die entscheidende Größe ist die Diskriminante, D = b² − 4ac, die zuerst berechnet wird. Ihr Vorzeichen entscheidet ohne zusätzlichen Aufwand über die Art der Lösungen: D > 0 ergibt zwei verschiedene reelle Lösungen, D = 0 ergibt eine doppelte reelle Lösung (die Parabel berührt die x-Achse nur), und D < 0 ergibt ein Paar konjugiert-komplexer Lösungen, geschrieben als re ± im·i.
Die Eingaben sind reine Zahlen ohne Einheiten, sodass die Ergebnisse die Einheiten tragen, die dein Problem impliziert. Die Berechnungen verwenden gewöhnliche Gleitkomma-Arithmetik, sodass sehr große Koeffizienten oder extrem nah beieinander liegende Lösungen winzige Rundungsunterschiede in den angezeigten Werten zeigen können.
Beispiele
| Eingabe | Ergebnis |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
Über diesen Rechner
Ein Löser für quadratische Gleichungen findet die Werte von x, die eine Gleichung der Form ax^2 + bx + c = 0 erfüllen, wobei a, b und c Konstanten sind und a nicht null ist. Diese Lösungen heißen die Nullstellen (Wurzeln) der Gleichung, und grafisch sind es die Punkte, an denen die Parabel y = ax^2 + bx + c die horizontale Achse schneidet.
Der Löser wendet die quadratische Lösungsformel an, x = (-b plus oder minus die Quadratwurzel von (b^2 - 4ac)) geteilt durch 2a. Der Ausdruck unter der Quadratwurzel, b^2 - 4ac, heißt Diskriminante, und er entscheidet über die Art der Nullstellen, noch bevor Sie die Berechnung abschließen. Wenn die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen, wenn sie genau null ist, gibt es eine doppelte reelle Nullstelle, und wenn sie negativ ist, gibt es zwei komplex konjugierte Nullstellen mit der imaginären Einheit i.
Um das Tool zu verwenden, geben Sie die drei Koeffizienten a, b und c genau so ein, wie sie in Ihrer Gleichung erscheinen, einschließlich etwaiger negativer Vorzeichen. Der Löser meldet die Diskriminante, teilt Ihnen mit, wie viele reelle oder komplexe Nullstellen existieren, und gibt dann die Nullstellen selbst an. Das Anzeigen der Diskriminante zuerst lässt Sie das Ergebnis verstehen, anstatt nur eine Zahl abzulesen.
Die Interpretation der Ausgabe besteht darin, die Nullstellen mit der Diskriminante abzugleichen. Zwei reelle Nullstellen bedeuten, dass die Parabel die Achse an zwei Stellen schneidet; eine doppelte Nullstelle bedeutet, dass sie die Achse an ihrem Scheitelpunkt nur berührt; und komplexe Nullstellen bedeuten, dass die Parabel die Achse gar nicht erreicht. Sie können eine reelle Nullstelle immer überprüfen, indem Sie sie wieder in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, was null ergeben sollte.
Häufige Fehler sind die Eingabe von a als null, was überhaupt keine quadratische Gleichung ist, sondern eine lineare Gleichung, und das Weglassen eines Minuszeichens beim Übertragen der Koeffizienten, was die Antwort still verändert. Manche vergessen auch, dass das Subtrahieren innerhalb der Formel Vorzeichen umkehren kann, und dass eine negative Diskriminante nicht bedeutet, dass es keine Lösung gibt, sondern nur, dass die Lösungen komplex statt reell sind.
Häufige Fragen
Die Diskriminante ist b^2 - 4ac, der Teil unter der Quadratwurzel in der quadratischen Lösungsformel. Sie verrät Ihnen die Art der Nullstellen: positiv bedeutet zwei verschiedene reelle Nullstellen, null bedeutet eine doppelte reelle Nullstelle und negativ bedeutet zwei komplex konjugierte Nullstellen.
Dann ist es überhaupt keine quadratische Gleichung, sondern eine lineare, bx + c = 0, mit einer einzigen Lösung x = -c/b. Eine echte quadratische Gleichung erfordert, dass a ungleich null ist, andernfalls verschwindet der x^2-Term und die quadratische Lösungsformel kann nicht angewendet werden.
Ja, wenn die Diskriminante genau null ist. In diesem Fall liefert die Formel eine einzige doppelte Nullstelle x = -b/(2a), und grafisch berührt die Parabel die horizontale Achse an ihrem Scheitelpunkt nur, anstatt sie zu schneiden.
Sie bedeutet, dass die Gleichung keine reellen Lösungen hat, sondern zwei komplexe, geschrieben als Konjugierte der Form p plus oder minus qi. Die Parabel schneidet die horizontale Achse nie, aber die Nullstellen existieren dennoch innerhalb des komplexen Zahlensystems.
Setzen Sie sie wieder in die ursprüngliche Gleichung ax^2 + bx + c ein. Wenn der Wert eine echte Nullstelle ist, sollte der Ausdruck zu null ausgewertet werden (oder extrem nahe daran, unter Berücksichtigung der Rundung). Das funktioniert für beide der zwei reellen Nullstellen.
Für ax^2 + bx + c = 0 addieren sich die beiden Nullstellen zu -b/a und multiplizieren sich zu c/a. Diese Beziehungen, bekannt als Vietas Wurzelsatz (Satz von Vieta), bieten eine schnelle Möglichkeit, die Ausgabe des Lösers auf Plausibilität zu prüfen, ohne die vollständige Berechnung erneut durchzuführen.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Löser für quadratische Gleichungen [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Löser für quadratische Gleichungen." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Löser für quadratische Gleichungen," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {Löser für quadratische Gleichungen}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/de/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
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