Rechner für das Spatprodukt
Berechne a·(b×c) für drei 3D-Vektoren und das Volumen des Spats, den sie aufspannen.
Equals the signed determinant det[a; b; c].
- 1
Cross product b×c: i
b₂·c₃ − b₃·c₂ = 2·3 − 0·0 = 6 - 2
Cross product b×c: j
b₃·c₁ − b₁·c₃ = 0·0 − 0·3 = 0 - 3
Cross product b×c: k
b₁·c₂ − b₂·c₁ = 0·0 − 2·0 = 0 - 4
Scalar triple product a·(b×c)
1·6 + 0·0 + 0·0 = 6Absolute value gives parallelepiped volume; sign shows orientation.
Wie funktioniert dieser Rechner?
Das Spatprodukt a·(b×c) multipliziert den Vektor a mit dem Kreuzprodukt von b und c und ergibt eine einzelne Zahl gleich der Determinante det[a; b; c]. Sein Betrag ist das Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Spats, und sein Vorzeichen verrät ihre Händigkeit; null bedeutet, dass sie komplanar sind.
Formel
How this is calculated
Gib drei 3D-Vektoren a, b und c ein, jeden als drei durch Kommas oder Leerzeichen getrennte Komponenten. Der Rechner bildet zunächst das Kreuzprodukt b×c = (b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁), einen zu b und c senkrechten Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Parallelogramms entspricht.
Das Spatprodukt ist dann das Skalarprodukt a·(b×c) = a₁(b×c)₁ + a₂(b×c)₂ + a₃(b×c)₃. Diese einzelne Zahl ist identisch mit der Determinante der 3×3-Matrix, deren Zeilen (oder Spalten) a, b und c sind, sodass sie unter zyklischer Vertauschung symmetrisch ist: a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b).
Geometrisch ist der Betrag |a·(b×c)| das Volumen des Spats mit den Kanten a, b und c. Das Vorzeichen gibt die Orientierung an: positiv für ein rechtshändiges Tripel, negativ für ein linkshändiges. Ein Ergebnis von null bedeutet, dass die drei Vektoren linear abhängig (komplanar) sind und der Spat flach mit null Volumen ist. Alle Eingaben müssen genau drei numerische Komponenten haben; die Ausgabe trägt dieselben Einheiten wie die Eingaben, hoch drei.
Häufige Fragen
Es bedeutet, dass die drei Vektoren komplanar (linear abhängig) sind, sodass der von ihnen gebildete Spat entartet ist und null Volumen hat.
Das Spatprodukt ist vorzeichenbehaftet. Ein positiver Wert kennzeichnet eine rechtshändige Orientierung von a, b, c; ein negativer Wert eine linkshändige Orientierung. Das Volumen ist der Betrag.
Ja. Das Spatprodukt ist gleich der Determinante der Matrix, die durch das Anordnen der drei Vektoren als ihre Zeilen (oder Spalten) gebildet wird.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rechner für das Spatprodukt [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/scalar-triple-product-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Rechner für das Spatprodukt." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/scalar-triple-product-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rechner für das Spatprodukt," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/scalar-triple-product-calculator
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