Calculadora de derivada direccional
Halla con qué rapidez cambia una función f(x, y) en un punto al moverte a lo largo de una dirección especificada.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
¿Cómo funciona esta calculadora?
La derivada direccional D_u f mide con qué rapidez cambia f(x, y) en un punto al moverse a lo largo de una dirección elegida. Es igual al gradiente ∇f = (fx, fy) por el producto escalar con la dirección unitaria û. Esta herramienta estima el gradiente por diferencias centrales, normaliza tu vector e informa D_u f junto con las derivadas parciales.
Fórmula
How this is calculated
Elige una función f(x, y) y un punto (x, y), luego da un vector de dirección (u1, u2). La calculadora estima primero el gradiente ∇f = (fx, fy) usando el cociente de diferencia simétrico (central) con un paso pequeño h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) y fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Se usan diferencias centrales porque su error es O(h²), lo que las hace mucho más precisas que las diferencias de un solo lado.
La dirección se normaliza luego a un vector unitario û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), ya que la derivada direccional se define para una dirección de longitud unitaria. El resultado es el producto escalar D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, que da la tasa instantánea de cambio de f en el punto en esa dirección.
Las unidades siguen a f: D_u f tiene las unidades de f por unidad de longitud recorrida. Si el vector de dirección es el vector cero, su longitud es cero y el resultado queda indefinido, por lo que ese caso no devuelve respuesta. La máxima derivada direccional posible en un punto es igual a la magnitud del gradiente |∇f| y ocurre en la dirección del propio gradiente; moverse perpendicular al gradiente da cero.
Preguntas frecuentes
La derivada direccional se define a lo largo de una dirección unitaria. Normalizar (u1, u2) por su longitud elimina el efecto de la magnitud del vector para que el resultado refleje solo la dirección, no cuán largo sea el vector.
Las diferencias centrales con h = 1e-5 tienen un error proporcional a h², por lo que para funciones suaves el gradiente suele ser preciso hasta muchas cifras significativas, coincidiendo estrechamente con las derivadas parciales analíticas exactas.
La dirección del propio gradiente ∇f, donde D_u f es igual a la magnitud del gradiente |∇f|. La dirección opuesta da el valor más negativo, y las direcciones perpendiculares a ∇f dan cero.
También conocido como
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Calculadora de derivada direccional [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/es/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Calculadora de derivada direccional." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/es/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Calculadora de derivada direccional," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/es/calculator/directional-derivative-calculator
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