Kolmannen asteen yhtälön ratkaisija
Etsi mikä tahansa reaalinen ja kompleksinen juuri kolmannen asteen yhtälölle ax³ + bx² + cx + d = 0 ja näe käyrä piirrettynä.
- 1
Shift: t = x + b/(3a)
6 ÷ (3 × 1) = 2Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0. - 2
p = (3ac − b²) ÷ (3a²)
(3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = −1 - 3
q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)
0 ÷ 27 = 0 - 4
Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³
(0 ÷ 2)² + (−1 ÷ 3)³ = −0,0370Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
Miten tämä laskin toimii?
Kolmannen asteen yhtälöllä ax³ + bx² + cx + d = 0 on aina kolme juurta. Tämä ratkaisija pelkistää sen pelkistetyksi kuutioksi, tarkistaa diskriminantin Δ = (q/2)² + (p/3)³ ja soveltaa sitten Cardanon kaavaa yhdelle reaaliselle juurelle tai trigonometrista kaavaa kolmelle reaaliselle juurelle, luetteloiden jokaisen juuren ja piirtäen käyrän.
Kaava
How this is calculated
Syötä neljä kerrointa a, b, c ja d. Korkeimman asteen kertoimen a on oltava nollasta poikkeava, muutoin yhtälö ei ole kolmannen asteen eikä laskuri palauta tulosta. Yhtälö jaetaan ensin käsitteellisesti a:lla ja pelkistetään pelkistetyksi kuutioksi t³ + pt + q = 0 sijoituksella x = t − b/(3a), missä p = (3ac − b²)/(3a²) ja q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).
Juurten luonteen ratkaisee diskriminantti Δ = (q/2)² + (p/3)³, joka on verrannollinen lausekkeeseen −(4p³ + 27q²). Kun Δ > 0, on täsmälleen yksi reaalinen juuri, joka lasketaan Cardanon kaavalla t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ), sekä konjugaattipari kompleksisia juuria. Kun Δ ≤ 0, kaikki kolme juurta ovat reaalisia ja löydetään vakaalla trigonometrisella kaavalla t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3) arvoilla k = 0, 1, 2.
Jokainen t siirretään takaisin määrällä −b/(3a), jotta saadaan x. Kompleksiset juuret esitetään reaaliosana plus tai miinus imaginaariosa (…i). Kaavio piirtää käyrän y = ax³ + bx² + cx + d ikkunassa, joka kattaa reaaliset juuret, ja jokainen x-akselin leikkaus merkitsee reaalista ratkaisua. Tulokset ovat tarkkoja liukulukupyöristykseen asti; hyvin suuret kerrointen suhteet voivat tuoda pienen numeerisen virheen.
Usein kysytyt kysymykset
Jos a = 0, x³-termi häviää ja yhtälö on toisen asteen (tai alempi), ei kolmannen asteen, joten kuutiomenetelmä ei sovellu. Käytä sen sijaan toisen asteen ratkaisijaa.
Jokaisella reaalikertoimisella kolmannen asteen yhtälöllä on täsmälleen kolme juurta kertaluvut huomioiden: joko kolme reaalista juurta tai yksi reaalinen juuri ja pari kompleksikonjugaattijuuria.
Δ > 0 tarkoittaa yhtä reaalista ja kahta kompleksista juurta; Δ = 0 tarkoittaa toistuvaa reaalista juurta; Δ < 0 tarkoittaa kolmea erillistä reaalista juurta.
Tunnetaan myös nimellä
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kolmannen asteen yhtälön ratkaisija [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/fi/calculator/cubic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Kolmannen asteen yhtälön ratkaisija." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/fi/calculator/cubic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kolmannen asteen yhtälön ratkaisija," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/fi/calculator/cubic-equation-solver
@misc{wecalculate_cubic_equation_solver, title = {Kolmannen asteen yhtälön ratkaisija}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/fi/calculator/cubic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Oliko tästä laskimesta sinulle apua?