Calculateur de dérivée directionnelle
Trouvez à quelle vitesse une fonction f(x, y) varie en un point lorsque vous vous déplacez selon une direction donnée.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Comment fonctionne cette calculatrice ?
La dérivée directionnelle D_u f mesure à quelle vitesse f(x, y) varie en un point lorsqu'on se déplace selon une direction choisie. Elle est égale au gradient ∇f = (fx, fy) multiplié scalairement par la direction unitaire û. Cet outil estime le gradient par différences centrées, normalise votre vecteur, et indique D_u f ainsi que les dérivées partielles.
Formule
How this is calculated
Choisissez une fonction f(x, y) et un point (x, y), puis donnez un vecteur directeur (u1, u2). Le calculateur estime d'abord le gradient ∇f = (fx, fy) à l'aide du quotient de différence symétrique (centrée) avec un petit pas h = 1e-5 : fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) et fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Les différences centrées sont utilisées car leur erreur est en O(h²), les rendant bien plus précises que les différences unilatérales.
La direction est ensuite normalisée en un vecteur unitaire û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), car la dérivée directionnelle est définie pour une direction de longueur unitaire. Le résultat est le produit scalaire D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, qui donne le taux de variation instantané de f au point dans cette direction.
Les unités suivent f : D_u f a les unités de f par unité de longueur parcourue. Si le vecteur directeur est le vecteur nul, sa longueur est nulle et le résultat est indéfini, donc ce cas ne renvoie aucune réponse. La dérivée directionnelle maximale possible en un point est égale à la norme du gradient |∇f| et se produit dans la direction du gradient lui-même ; se déplacer perpendiculairement au gradient donne zéro.
Questions fréquentes
La dérivée directionnelle est définie selon une direction unitaire. Normaliser (u1, u2) par sa longueur supprime l'effet de la magnitude du vecteur afin que le résultat ne reflète que la direction, pas la longueur du vecteur.
Les différences centrées avec h = 1e-5 ont une erreur proportionnelle à h², donc pour les fonctions lisses le gradient est généralement précis à de nombreux chiffres significatifs, correspondant étroitement aux dérivées partielles analytiques exactes.
La direction du gradient ∇f lui-même, où D_u f est égale à la norme du gradient |∇f|. La direction opposée donne la valeur la plus négative, et les directions perpendiculaires à ∇f donnent zéro.
Aussi appelé
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Calculateur de dérivée directionnelle [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/fr/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Calculateur de dérivée directionnelle." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/fr/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Calculateur de dérivée directionnelle," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/fr/calculator/directional-derivative-calculator
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