Áireamhán Uimhreacha Catalan
Faigh an n-ú uimhir Catalan agus feic conas a phléascann an seicheamh 1, 1, 2, 5, 14, 42, … de réir mar a fhásann n.
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3.333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3.333333 = 1,430
Conas a oibríonn an t-áireamhán seo?
Is é an n-ú uimhir Catalan Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!). Comhaireamh sé lúibíní cothromaithe, crainn dhénártha iomlána, conairí laitíse, agus triantánúcháin polagán. Tosaíonn an seicheamh 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … agus fásann sé timpeall ar nós 4ⁿ. Cuir isteach aon slánuimhir n ≥ 0 chun Cₙ agus an cuar fáis iomlán a fháil.
Foirmle
How this is calculated
Cuir isteach slánuimhir neamhdhiúltach n. Comhaireamh na huimhreacha Catalan Cₙ teaghlach ollmhór de réada teaglamacha: líon na slite chun n péire lúibíní a mheaitseáil i gceart, líon na gcrann dénártha iomlán le n+1 duilleog, líon na gconairí laitíse aontonacha a fhanann faoi bhun an trasnánaigh, agus líon na dtriantánúchán de pholagán dronnach (n+2)-thaobhach — gach ceann acu cothrom leis an Cₙ céanna.
Is é an fhoirm dhúnta Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!), nó go comhionann an comhéifeacht dhénártha lárnach C(2n, n) roinnte ar (n+1). Déanann ríomh fachtóirí go díreach ró-shreabhadh go tapa, mar sin úsáideann an t-áireamhán seo an athchúrsáil bheacht slánuimhreach C₀ = 1 agus C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2). Iolraíonn gach céim faoi fhachtóir slánuimhir-luachach, ag coinneáil an luach reatha beacht chomh fada agus a cheadaíonn dúbailtchruinneas agus ag tógáil an tseichimh iomláin C₀…Cₙ a bhreactar sa chuar fáis.
Is comhaireamh gan toise iad na luachanna, mar sin níl ach slánuimhir n ≥ 0 bríoch; déantar ionchur codánach a urláradh. Toisc go bhfásann Cₙ timpeall ar nós 4ⁿ / (n^{3/2}√π), sáraíonn na huimhreacha raon beacht slánuimhreach snámhphointe 64-giotán níos faide ná timpeall n = 30 agus déanann siad ró-shreabhadh iomlán thar n ≈ 170, mar sin cuirtear caidhp ar an ionchur ag 170 agus taispeántar torthaí móra i nodaireacht eolaíoch.
Ceisteanna coitianta
Tosaíonn an seicheamh C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429, agus C₈ = 1430.
Ón athchúrsáil, Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1), a chlaonann chuig 4 de réir mar a fhásann n. Léiríonn sé seo an fás asymptotach Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π).
Fásann uimhreacha Catalan go heaspónantúil. Níos faide ná n ≈ 170 sáraíonn an luach an uimhir dúbailtchruinnis is mó inléirithe (~1.8×10³⁰⁸), mar sin ní féidir ionchuir níos mó a ríomh go beacht le snámhphointe caighdeánach.
Ar a dtugtar freisin
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Áireamhán Uimhreacha Catalan [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ga/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Áireamhán Uimhreacha Catalan." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ga/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Áireamhán Uimhreacha Catalan," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ga/calculator/catalan-number-calculator
@misc{wecalculate_catalan_number_calculator, title = {Áireamhán Uimhreacha Catalan}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ga/calculator/catalan-number-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Ar chabhraigh an t-áireamhán seo leat?