निश्चित समाकलन परिकलक
किसी सामान्य फलन के संवृत-रूप प्रतिअवकलज का उपयोग करके किसी अंतराल [a, b] पर उसका सटीक निश्चित समाकलन परिकलित करें।
Function f(x)
Signed area under the curve from a to b
- 1
Antiderivative at b
F(2) = 2.666667Antiderivative of x² evaluated at the upper limit. - 2
Antiderivative at a
F(0) = 0 - 3
Definite integral F(b) − F(a)
2.666667 − 0 = 2.666667
यह कैलकुलेटर कैसे काम करता है?
एक निश्चित समाकलन F(b) − F(a) के बराबर होता है, जहाँ F, f का प्रतिअवकलज है। एक फलन चुनें, सीमाएँ a और b दर्ज करें, और यह उपकरण वक्र के नीचे चिह्नित क्षेत्रफल लौटाने के लिए सटीक प्रतिअवकलज लागू करता है — कोई संख्यात्मक सन्निकटन नहीं, इसलिए उत्तर फ्लोटिंग-पॉइंट सीमाओं के भीतर सटीक होता है।
सूत्र
How this is calculated
सूची में से समाकल्य f(x) चुनें और निचली सीमा a तथा ऊपरी सीमा b दर्ज करें। परिकलक चुने गए फलन के लिए सटीक प्रतिअवकलज F(x) देखता है — उदाहरण के लिए x² का समाकलन x³/3, sin x का −cos x, eˣ का eˣ, ln x का x·ln x − x, 1/x का ln|x|, और √x का (2/3)x^1.5 होता है — फिर कलन के मूल प्रमेय को लागू करता है।
मूल प्रमेय कहता है कि निश्चित समाकलन अंतराल भर में प्रतिअवकलज के निवल परिवर्तन, F(b) − F(a), के बराबर होता है। यह वक्र और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल देता है: अक्ष के नीचे के क्षेत्र कुल से घटते हैं। चूँकि सटीक प्रतिअवकलज उपयोग होते हैं (संख्यात्मक सन्निकटन नहीं), परिणाम में कोई विविक्तीकरण त्रुटि नहीं होती। sin x और cos x के लिए कोण रेडियन में हैं।
कुछ समाकल्यों में प्रांत प्रतिबंध होते हैं। ln x और √x केवल x > 0 के लिए परिभाषित हैं, इसलिए दोनों सीमाएँ धनात्मक होनी चाहिए। 1/x के लिए प्रतिअवकलज ln|x| केवल ऐसे अंतराल पर मान्य है जिसमें शून्य न हो या जो शून्य को पार न करे, क्योंकि फलन की x = 0 पर एक विचित्रता है। जब इनपुट इन शर्तों का उल्लंघन करते हैं तो परिकलक एक अर्थहीन संख्या लौटाने के बजाय बताता है कि मान्य मान आवश्यक हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
हाँ। सीमाओं को उलटने पर चिह्न पलट जाता है: ∫ₐᵇ f dx = −∫ᵦᵃ f dx, क्योंकि F(b) − F(a), −(F(a) − F(b)) बन जाता है।
रेडियन। किसी डिग्री सीमा पर समाकलन करने के लिए, सीमाओं को पहले रेडियन में बदलें (π/180 से गुणा करें)।
फलन 1/x, x = 0 पर अपरिभाषित है और वहाँ समाकलन अपसरित होता है, इसलिए प्रतिअवकलज ln|x| केवल उन अंतरालों पर लागू होता है जो पूरी तरह शून्य के एक ओर रहें।
इस नाम से भी जाना जाता है
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). निश्चित समाकलन परिकलक [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hi/calculator/definite-integral-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "निश्चित समाकलन परिकलक." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hi/calculator/definite-integral-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "निश्चित समाकलन परिकलक," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hi/calculator/definite-integral-calculator
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