दिशात्मक अवकलज परिकलक
ज्ञात करें कि किसी निर्दिष्ट दिशा के अनुदिश चलते समय किसी बिंदु पर फलन f(x, y) कितनी तेज़ी से बदलता है।
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0.6, 0.8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0.6 + 4 × 0.8 = 4.4000
यह कैलकुलेटर कैसे काम करता है?
दिशात्मक अवकलज D_u f मापता है कि किसी चुनी गई दिशा के अनुदिश चलते समय किसी बिंदु पर f(x, y) कितनी तेज़ी से बदलता है। यह प्रवणता ∇f = (fx, fy) का इकाई दिशा û के साथ बिंदु गुणनफल के बराबर है। यह उपकरण केंद्रीय अंतरों द्वारा प्रवणता का अनुमान लगाता है, आपके सदिश को सामान्यीकृत करता है, और आंशिक अवकलजों सहित D_u f बताता है।
सूत्र
How this is calculated
एक फलन f(x, y) और एक बिंदु (x, y) चुनें, फिर एक दिशा सदिश (u1, u2) दें। परिकलक पहले एक छोटे चरण h = 1e-5 के साथ सममित (केंद्रीय) अंतर भागफल का उपयोग कर प्रवणता ∇f = (fx, fy) का अनुमान लगाता है: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) और fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h)। केंद्रीय अंतर इसलिए उपयोग होते हैं क्योंकि उनकी त्रुटि O(h²) होती है, जो उन्हें एकपक्षीय अंतरों से कहीं अधिक सटीक बनाती है।
फिर दिशा को एक इकाई सदिश û = (u1, u2) / √(u1² + u2²) में सामान्यीकृत किया जाता है, क्योंकि दिशात्मक अवकलज इकाई लंबाई की दिशा के लिए परिभाषित है। परिणाम बिंदु गुणनफल D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2 है, जो उस दिशा में बिंदु पर f की परिवर्तन की तात्क्षणिक दर देता है।
इकाइयाँ f का अनुसरण करती हैं: D_u f में f की इकाइयाँ प्रति इकाई तय लंबाई होती हैं। यदि दिशा सदिश शून्य सदिश हो तो उसकी लंबाई शून्य होती है और परिणाम अपरिभाषित होता है, इसलिए वह स्थिति कोई उत्तर नहीं देती। किसी बिंदु पर अधिकतम संभव दिशात्मक अवकलज प्रवणता परिमाण |∇f| के बराबर होता है और स्वयं प्रवणता की दिशा में होता है; प्रवणता के लंबवत चलने पर शून्य मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
दिशात्मक अवकलज एक इकाई दिशा के अनुदिश परिभाषित है। (u1, u2) को उसकी लंबाई से सामान्यीकृत करने पर सदिश के परिमाण का प्रभाव हट जाता है ताकि परिणाम केवल दिशा दर्शाए, न कि सदिश कितना लंबा है।
h = 1e-5 के साथ केंद्रीय अंतरों की त्रुटि h² के अनुपात में होती है, इसलिए चिकने फलनों के लिए प्रवणता सामान्यतः कई सार्थक अंकों तक सटीक होती है, जो सटीक वैश्लेषिक आंशिक अवकलजों से निकटता से मेल खाती है।
स्वयं प्रवणता ∇f की दिशा, जहाँ D_u f प्रवणता परिमाण |∇f| के बराबर होता है। विपरीत दिशा सबसे ऋणात्मक मान देती है, और ∇f के लंबवत दिशाएँ शून्य देती हैं।
इस नाम से भी जाना जाता है
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). दिशात्मक अवकलज परिकलक [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hi/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "दिशात्मक अवकलज परिकलक." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hi/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "दिशात्मक अवकलज परिकलक," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hi/calculator/directional-derivative-calculator
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