प्रवणता सदिश परिकलक
किसी चुने हुए बिंदु पर दो-चर फलन की प्रवणता ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y), उसके परिमाण सहित, परिकलित करें।
Function f(x, y)
Length of the gradient vector at the point
- 1
∂f/∂x at (x, y)
2Estimated by central difference: [f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ 2h with h = 10⁻⁵. - 2
∂f/∂y at (x, y)
4 - 3
Magnitude |∇f|
√(2² + 4²) = 4.4721
यह कैलकुलेटर कैसे काम करता है?
प्रवणता ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) किसी फलन के आंशिक अवकलजों को एकत्र करती है और उसकी सबसे तीव्र वृद्धि की ओर संकेत करती है। यह उपकरण आपके चुने हुए बिंदु पर केंद्रीय अंतरों द्वारा दोनों आंशिकों का संख्यात्मक मूल्यांकन करता है और घटक तथा परिमाण |∇f| = √(fx² + fy²), यानी वहाँ सबसे तीव्र परिवर्तन की दर, बताता है।
सूत्र
How this is calculated
एक अदिश फलन f(x, y) की प्रवणता उसके प्रथम आंशिक अवकलजों का सदिश है, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)। यह f की सबसे तीव्र वृद्धि की दिशा में संकेत करती है, और इसका परिमाण |∇f| उस वृद्धि की दर देता है। सूची में से एक फलन चुनें और वह बिंदु (x, y) दर्ज करें जिस पर आप प्रवणता का मूल्यांकन चाहते हैं।
प्रत्येक आंशिक अवकलज को सममित (केंद्रीय) अंतर सूत्र का उपयोग कर संख्यात्मक रूप से अनुमानित किया जाता है, ∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) एक छोटे चरण h = 1e-5 के साथ, और इसी प्रकार ∂f/∂y के लिए। केंद्रीय अंतरों की द्वितीय-क्रम सटीकता होती है, इसलिए चिकने फलनों के लिए परिणाम सटीक वैश्लेषिक अवकलज से कई दशमलव स्थानों तक मेल खाता है। फिर परिमाण दो घटकों का यूक्लिडीय मानक है।
इनपुट x और y फलन द्वारा उपयोग की जाने वाली किसी भी इकाई में साधारण वास्तविक संख्याएँ हैं; प्रवणता घटकों की इकाई f प्रति इकाई x (या y) होती है। उन बिंदुओं से बचें जहाँ फलन अपरिभाषित या विचित्र हो — उदाहरण के लिए f = ln(x² + y²) मूल बिंदु पर अपसरित हो जाता है, और वहाँ एक बहुत छोटा हर संख्यात्मक अवकलज को अविश्वसनीय बनाता है। किसी स्थानीय चरम या काठी बिंदु पर प्रवणता शून्य सदिश होती है, इसलिए परिमाण शून्य होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह उस बिंदु पर फलन के परिवर्तन की सबसे तीव्र दर है। प्रवणता सदिश सबसे तीव्र वृद्धि की दिशा में संकेत करता है, और |∇f| यह बताता है कि उस दिशा में प्रति इकाई दूरी f कितनी तेज़ी से बढ़ता है।
केंद्रीय अंतर उपकरण को बिना प्रतीकात्मक अवकलन के किसी भी चुने हुए फलन के लिए प्रवणता का मूल्यांकन करने देते हैं। चरण h = 1e-5 के साथ वे चिकने फलनों के लिए लगभग 1e-10 सापेक्ष त्रुटि तक सटीक होते हैं।
क्रांतिक बिंदुओं पर — स्थानीय उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ, और काठी बिंदु — दोनों आंशिक अवकलज लुप्त हो जाते हैं, इसलिए ∇f = (0, 0) और परिमाण 0 होता है।
इस नाम से भी जाना जाता है
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). प्रवणता सदिश परिकलक [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hi/calculator/gradient-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "प्रवणता सदिश परिकलक." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hi/calculator/gradient-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "प्रवणता सदिश परिकलक," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hi/calculator/gradient-calculator
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