द्विघात समीकरण हल कर्ता
किसी भी द्विघात समीकरण को हल करें और उसके मूल व विविक्तकर देखें।
दो वास्तविक मूल
- 1
b²
(-3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
विविक्तकर
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
सूत्र
How this is calculated
एक द्विघात समीकरण का रूप ax² + bx + c = 0 होता है, जहाँ a, b, और c वे संख्याएँ हैं जो आप दर्ज करते हैं। गुणांक a, x² को गुणा करता है और शून्य नहीं होना चाहिए — यदि यह शून्य होता, तो समीकरण रैखिक होता, द्विघात नहीं। गुणांक b, x को गुणा करता है, और c स्वतंत्र अचर पद है। हल करने वाला द्विघात सूत्र x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a लागू करता है, जो वे सटीक x-मान देता है जहाँ परवलय शून्य को पार करता है।
मुख्य राशि विविक्तकर (डिस्क्रिमिनेंट), D = b² − 4ac है, जिसकी गणना पहले की जाती है। इसका चिह्न बिना किसी अतिरिक्त कार्य के मूलों की प्रकृति तय करता है: D > 0 दो भिन्न वास्तविक मूल देता है, D = 0 एक दोहराया गया वास्तविक मूल देता है (परवलय बस x-अक्ष को छूता है), और D < 0 सम्मिश्र-संयुग्मी मूलों का एक युग्म देता है जो re ± im·i के रूप में लिखा जाता है।
इनपुट बिना इकाइयों वाली शुद्ध संख्याएँ हैं, इसलिए परिणाम वही इकाइयाँ धारण करते हैं जो आपकी समस्या में निहित हों। गणनाएँ मानक फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित का उपयोग करती हैं, इसलिए बहुत बड़े गुणांक या एक-दूसरे के अत्यंत निकट मूल प्रदर्शित मानों में सूक्ष्म पूर्णांकन अंतर दिखा सकते हैं।
उदाहरण
| इनपुट | परिणाम |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
इस कैलकुलेटर के बारे में
एक द्विघात समीकरण हल करने वाला x के उन मानों को ज्ञात करता है जो ax^2 + bx + c = 0 के रूप वाले समीकरण को संतुष्ट करते हैं, जहाँ a, b, और c स्थिरांक हैं और a शून्य नहीं है। इन हलों को समीकरण के मूल कहा जाता है, और ग्राफ़िक रूप से ये वे बिंदु हैं जहाँ परवलय y = ax^2 + bx + c क्षैतिज अक्ष को काटता है।
हल करने वाला द्विघात सूत्र लागू करता है, x = (-b धन या ऋण (b^2 - 4ac) का वर्गमूल) को 2a से भाग किया हुआ। वर्गमूल के नीचे का व्यंजक, b^2 - 4ac, विविक्तकर (discriminant) कहलाता है, और यह गणना पूरी करने से पहले ही मूलों की प्रकृति तय कर देता है। यदि विविक्तकर धनात्मक है तो दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं, यदि यह ठीक शून्य है तो एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल होता है, और यदि यह ऋणात्मक है तो काल्पनिक इकाई i को शामिल करते हुए दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल होते हैं।
उपकरण का उपयोग करने के लिए, तीनों गुणांक a, b, और c को ठीक वैसे ही दर्ज करें जैसे वे आपके समीकरण में दिखाई देते हैं, किसी भी ऋणात्मक चिह्न सहित। हल करने वाला विविक्तकर की रिपोर्ट करता है, बताता है कि कितने वास्तविक या सम्मिश्र मूल मौजूद हैं, और फिर मूल स्वयं देता है। पहले विविक्तकर दिखाना आपको केवल एक संख्या पढ़ने के बजाय परिणाम को समझने देता है।
आउटपुट की व्याख्या मूलों को विविक्तकर से मिलाने के बारे में है। दो वास्तविक मूल का मतलब है कि परवलय अक्ष को दो स्थानों पर काटता है; एक दोहराया हुआ मूल का मतलब है कि यह अपने शीर्ष पर अक्ष को बस छूता है; और सम्मिश्र मूल का मतलब है कि परवलय अक्ष तक कभी नहीं पहुँचता। आप किसी वास्तविक मूल को मूल समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करके हमेशा सत्यापित कर सकते हैं, जो शून्य लौटाना चाहिए।
आम गलतियों में a को शून्य के रूप में दर्ज करना शामिल है, जो बिल्कुल भी द्विघात नहीं बल्कि एक रैखिक समीकरण है, और गुणांकों को लिखते समय एक ऋण चिह्न छोड़ देना, जो चुपचाप उत्तर बदल देता है। लोग कभी-कभी यह भी भूल जाते हैं कि सूत्र के भीतर घटाव चिह्नों को पलट सकता है, और यह कि एक ऋणात्मक विविक्तकर का मतलब यह नहीं है कि कोई हल नहीं है, केवल यह कि हल वास्तविक के बजाय सम्मिश्र हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
विविक्तकर b^2 - 4ac है, द्विघात सूत्र में वर्गमूल के नीचे का भाग। यह आपको मूलों की प्रकृति बताता है: धनात्मक का मतलब दो भिन्न वास्तविक मूल, शून्य का मतलब एक दोहराया हुआ वास्तविक मूल, और ऋणात्मक का मतलब दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल।
तब यह बिल्कुल भी द्विघात समीकरण नहीं बल्कि एक रैखिक है, bx + c = 0, एकल हल x = -c/b के साथ। एक वास्तविक द्विघात के लिए a का गैर-शून्य होना आवश्यक है, अन्यथा x^2 पद गायब हो जाता है और द्विघात सूत्र लागू नहीं हो सकता।
हाँ, जब विविक्तकर ठीक शून्य के बराबर हो। उस स्थिति में सूत्र एक एकल दोहराया हुआ मूल x = -b/(2a) देता है, और ग्राफ़िक रूप से परवलय इसे काटने के बजाय अपने शीर्ष पर क्षैतिज अक्ष को बस छूता है।
इसका मतलब है कि समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है बल्कि दो सम्मिश्र हैं, जो p धन या ऋण qi रूप के संयुग्मी के रूप में लिखे जाते हैं। परवलय क्षैतिज अक्ष को कभी नहीं काटता, लेकिन मूल फिर भी सम्मिश्र संख्या प्रणाली के भीतर मौजूद होते हैं।
इसे मूल समीकरण ax^2 + bx + c में वापस प्रतिस्थापित करें। यदि मान एक सच्चा मूल है, तो व्यंजक का मूल्यांकन शून्य होना चाहिए (या उसके अत्यंत निकट, राउंडिंग के लिए छूट देते हुए)। यह दोनों वास्तविक मूलों के लिए काम करता है।
ax^2 + bx + c = 0 के लिए, दो मूल जुड़कर -b/a बनते हैं और गुणा होकर c/a बनते हैं। ये संबंध, जिन्हें विएटा के सूत्र कहते हैं, पूरी गणना दोबारा किए बिना हल करने वाले के आउटपुट की जाँच करने का एक त्वरित तरीका देते हैं।
इस नाम से भी जाना जाता है
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). द्विघात समीकरण हल कर्ता [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hi/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "द्विघात समीकरण हल कर्ता." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hi/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "द्विघात समीकरण हल कर्ता," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hi/calculator/quadratic-equation-solver
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