Rješavač kubnih jednadžbi
Pronađite svaki realni i kompleksni korijen bilo koje kubne jednadžbe ax³ + bx² + cx + d = 0 i pogledajte nacrtanu krivulju.
- 1
Shift: t = x + b/(3a)
6 ÷ (3 × 1) = 2Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0. - 2
p = (3ac − b²) ÷ (3a²)
(3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = −1 - 3
q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)
0 ÷ 27 = 0 - 4
Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³
(0 ÷ 2)² + (−1 ÷ 3)³ = −0,0370Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
Kako radi ovaj kalkulator?
Kubna jednadžba ax³ + bx² + cx + d = 0 uvijek ima tri korijena. Ovaj rješavač svodi je na deprimiranu kubnu jednadžbu, provjerava diskriminantu Δ = (q/2)² + (p/3)³, zatim primjenjuje Cardanovu formulu za jedan realni korijen ili trigonometrijsku formulu za tri realna korijena, navodeći svaki korijen i crtajući krivulju.
Formula
How this is calculated
Unesite četiri koeficijenta a, b, c i d. Vodeći koeficijent a mora biti različit od nule, inače jednadžba nije kubna i kalkulator ne vraća rezultat. Jednadžba se konceptualno dijeli s a i svodi na deprimiranu kubnu jednadžbu t³ + pt + q = 0 supstitucijom x = t − b/(3a), gdje je p = (3ac − b²)/(3a²) i q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).
Priroda korijena određuje se diskriminantom Δ = (q/2)² + (p/3)³, koja je proporcionalna −(4p³ + 27q²). Kada je Δ > 0, postoji točno jedan realni korijen, izračunat Cardanovom formulom t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ), plus kompleksno konjugiran par korijena. Kada je Δ ≤ 0, sva tri korijena su realna i nalaze se stabilnom trigonometrijskom formulom t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3) za k = 0, 1, 2.
Svaki t se vraća pomicanjem za −b/(3a) da bi se dobilo x. Kompleksni korijeni prikazuju se kao realni dio plus ili minus imaginarni dio (…i). Graf prikazuje y = ax³ + bx² + cx + d u prozoru koji obuhvaća realne korijene, gdje svako sjecište s osi x označava realno rješenje. Rezultati su točni do na zaokruživanje u pomičnom zarezu; vrlo veliki omjeri koeficijenata mogu unijeti malu numeričku grešku.
Često postavljana pitanja
Ako je a = 0, x³ član nestaje i jednadžba je kvadratna (ili niža), a ne kubna, pa se kubna metoda ne primjenjuje. Umjesto toga koristite rješavač kvadratnih jednadžbi.
Svaka kubna jednadžba s realnim koeficijentima ima točno tri korijena brojena s višestrukostima: ili tri realna korijena, ili jedan realni korijen i par kompleksno konjugiranih korijena.
Δ > 0 znači jedan realni i dva kompleksna korijena; Δ = 0 znači ponovljeni realni korijen; Δ < 0 znači tri različita realna korijena.
Poznato i kao
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Rješavač kubnih jednadžbi [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hr/calculator/cubic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Rješavač kubnih jednadžbi." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hr/calculator/cubic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Rješavač kubnih jednadžbi," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hr/calculator/cubic-equation-solver
@misc{wecalculate_cubic_equation_solver, title = {Rješavač kubnih jednadžbi}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/hr/calculator/cubic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Je li vam ovaj kalkulator pomogao?