TG we-Calculate logoTG we-Calculate
Összes kalkulátor
Advanced

Harmadfokú Egyenlet Megoldó

Keresse meg bármely ax³ + bx² + cx + d = 0 harmadfokú egyenlet összes valós és komplex gyökét, és lássa az ábrázolt görbét.
Must be non-zero
Three real roots
x = 3, x = 2, x = 1
Root 1
3
Root 2
2
Root 3
1
Discriminant Δ
-0,037
Step by step
  1. 1

    Shift: t = x + b/(3a)

    6 ÷ (3 × 1) = 2
    Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0.
  2. 2

    p = (3ac − b²) ÷ (3a²)

    (3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = -1
  3. 3

    q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)

    0 ÷ 27 = 0
  4. 4

    Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³

    (0 ÷ 2)² + (-1 ÷ 3)³ = -0,0370
    Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
Az eredmények csak általános tájékoztatásul szolgáló becslések, és nem minősülnek szakmai tanácsadásnak — a fontos eredményeket mindig ellenőrizze függetlenül, mielőtt rájuk hagyatkozna. Olvassa el a teljes jogi nyilatkozatot.
Gyors válasz

Hogyan működik ez a kalkulátor?

Egy ax³ + bx² + cx + d = 0 harmadfokú egyenletnek mindig három gyöke van. Ez a megoldó deprimált köbössé alakítja, megvizsgálja a Δ = (q/2)² + (p/3)³ diszkrimináns értékét, majd alkalmazza a Cardano-képletet egy valós gyökhöz, vagy trigonometrikus képletet három valós gyökhöz, listázva minden gyököt és ábrázolva a görbét.

Képlet
ax³ + bx² + cx + d = 0 → deprimált köbös: t³ + pt + q = 0, Δ = (q/2)² + (p/3)³
How this is calculated

Adja meg a négy a, b, c és d együtthatót. Az a vezető együtthatónak nullától különbözőnek kell lennie, különben az egyenlet nem harmadfokú és a kalkulátor nem ad eredményt. Az egyenlet fogalmilag elosztásra kerül a-val, majd a t = x − b/(3a) helyettesítéssel deprimált köbössé alakítják: t³ + pt + q = 0, ahol p = (3ac − b²)/(3a²) és q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).

A gyökök természetét a Δ = (q/2)² + (p/3)³ diszkrimináns határozza meg, amely arányos −(4p³ + 27q²)-vel. Ha Δ > 0, pontosan egy valós gyök van, amelyet Cardano-képlettel számítanak: t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ), és egy konjugált komplex gyökpár. Ha Δ ≤ 0, mindhárom gyök valós, és a stabil trigonometrikus képlettel számítják: t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3), k = 0, 1, 2 esetén.

Minden t értéket −b/(3a)-val korrigálnak az x visszaállításához. A komplex gyökök valós rész plusz vagy mínusz képzetes rész formájában jelennek meg (…i). A grafikon a valós gyökök tartományán ábrázolja az y = ax³ + bx² + cx + d görbét, ahol az x-tengellyel való minden metszés egy valós megoldást jelöl. Az eredmények pontosak a lebegőpontos kerekítés mértékéig; nagyon nagy együttható-arányok kis numerikus hibát okozhatnak.

Gyakran ismételt kérdések

Ha a = 0, az x³ tag eltűnik, és az egyenlet másodfokú (vagy alacsonyabb fokú), nem harmadfokú, ezért a köbös módszer nem alkalmazható. Ehelyett másodfokú megoldót kell használni.

Minden valós együtthatójú harmadfokú egyenletnek pontosan három gyöke van (multiplicitással számolva): vagy három valós gyök, vagy egy valós gyök és egy komplex konjugált gyökpár.

Δ > 0: egy valós és két komplex gyök; Δ = 0: ismétlődő valós gyök; Δ < 0: három különböző valós gyök.

Más néven

harmadfokú egyenlet
köbös egyenlet megoldó
ax^3+bx^2+cx+d
harmadfokú gyökök
cardano képlet
cubic equation solver
cubic roots
third degree equation

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Harmadfokú Egyenlet Megoldó [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hu/calculator/cubic-equation-solver

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Harmadfokú Egyenlet Megoldó." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hu/calculator/cubic-equation-solver.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Harmadfokú Egyenlet Megoldó," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hu/calculator/cubic-equation-solver

BibTeX

@misc{wecalculate_cubic_equation_solver, title = {Harmadfokú Egyenlet Megoldó}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/hu/calculator/cubic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }

Segített ez a kalkulátor?

Kapcsolódó kalkulátorok

Másodfokú egyenlet megoldó

Oldjon meg ax² + bx + c = 0 egyenletet a megoldóképlettel — valós és komplex gyökök, valamint a diszkrimináns.

Beginner

Másodfokú Kifejezés Faktorizáló Kalkulátor

Bontsa fel az ax^2+bx+c kifejezést a(x-r1)(x-r2) szorzat alakba gyökök segítségével, valós vagy komplex eredménnyel.

Intermediate

2x2 Sajátérték Kalkulátor

Keresse meg egy 2x2 mátrix sajátértékeit a karakterisztikus egyenletéből. Adja meg a négy bejegyzést valós vagy komplex gyökök megkapásához.

Advanced

Abszolút Érték Egyenlet Megoldó

Oldja meg a |ax+b|=c egyenletet x-re, és ábrázolja az y=|ax+b| és y=c grafikonokat a metszéspontok megjelenítéséhez.

Beginner

Parabola pontokból kalkulátor

Határozd meg a három ponton áthaladó parabola másodfokú egyenletét y = ax² + bx + c, valamint a csúcspontját, szimmetriatengelyét és diszkriminánsát, grafikonnal.

Beginner

Diszkrimináns Kalkulátor

Keresse meg a másodfokú egyenlet b^2-4ac diszkriminánsát, és azonnal lássa, hány valós gyöke van.

Beginner