TG we-Calculate logoTG we-Calculate
Wszystkie kalkulatory
Intermediate

Kalkulator wzorów Cramera

Rozwiąż układ liniowy z 2 lub 3 niewiadomymi za pomocą wzorów Cramera, wprowadzając rozszerzoną macierz współczynników.
One equation per line. Use 2 or 3 rows; each row has n coefficients and 1 constant.
Solution for x
2

Computed via Cramer’s rule (Dx / D)

x
2
y
1
Main determinant D
-7
Dx
-14
Dy
-7
Coefficient matrix — det D shows area-scaling (D ≠ 0 means unique solution)
Step by step
  1. 1

    Main determinant D

    2 × -3 − 1 × 1 = -7
  2. 2

    Numerator determinant Dx

    5 × -3 − 1 × -1 = -14
    Column 1 of the coefficient matrix is replaced with the constants.
  3. 3

    Solution x = Dx ÷ D

    -14 ÷ -7 = 2
Wyniki są jedynie szacunkami o charakterze ogólnoinformacyjnym i nie stanowią profesjonalnej porady — zawsze samodzielnie zweryfikuj ważne wyniki, zanim na nich polegniesz. Przeczytaj pełne zastrzeżenie.
Szybka odpowiedź

Jak działa ten kalkulator?

Wzory Cramera rozwiązują układ liniowy 2×2 lub 3×3 za pomocą wyznaczników. Wprowadź każde równanie jako jego współczynniki plus wyraz wolny. Narzędzie znajduje wyznacznik główny D oraz każdy Dᵢ (kolumna i zastąpiona wyrazami wolnymi), a następnie zwraca xᵢ = Dᵢ / D. Jeśli D = 0, nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie.

Wzór
xᵢ = det(Aᵢ) / det(A), gdzie Aᵢ zastępuje kolumnę i macierzy A wyrazami wolnymi b
How this is calculated

Wprowadź po jednym równaniu na wiersz w polu macierzy rozszerzonej. Każdy wiersz zawiera współczynniki niewiadomych, po których następuje wyraz wolny po prawej stronie. Dwa wiersze definiują układ 2×2 (x, y); trzy wiersze definiują układ 3×3 (x, y, z). Wartości można oddzielać spacjami lub przecinkami.

Kalkulator dzieli dane wejściowe na kwadratową macierz współczynników A i wektor wyrazów wolnych b. Oblicza wyznacznik główny D = det(A). Dla każdej niewiadomej i buduje macierz Aᵢ, zastępując kolumnę i macierzy A wektorem b, oblicza Dᵢ = det(Aᵢ), a następnie xᵢ = Dᵢ / D. Wyznacznik 2×2 korzysta z ad − bc; 3×3 korzysta z rozwinięcia Laplace'a wzdłuż pierwszego wiersza.

Wzory Cramera dają jednoznaczne rozwiązanie tylko wtedy, gdy D ≠ 0. Jeśli D = 0, układ jest albo sprzeczny (brak rozwiązań), albo zależny (nieskończenie wiele rozwiązań), więc narzędzie zgłasza, że nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie. Dane wejściowe muszą tworzyć układ kwadratowy: każdy z n wierszy potrzebuje dokładnie n + 1 liczb.

Najczęściej zadawane pytania

Jeśli D = 0, wzorów Cramera nie można zastosować, ponieważ dzielenie przez zero jest nieokreślone. Układ ma albo brak rozwiązań, albo nieskończenie wiele, i należy użyć eliminacji Gaussa do dalszej analizy.

Zapisz po jednym równaniu na wiersz jako jego współczynniki, po których następuje wyraz wolny. Dla 2x + y = 5 i x − 3y = −1 wprowadź "2 1 5" i "1 -3 -1".

Ten kalkulator obsługuje układy 2×2 i 3×3. Wzory Cramera uogólniają się na większe, ale stają się kosztowne obliczeniowo, więc dla dużych układów preferuje się eliminację lub metody macierzowe.

Znany również jako

wzory cramera
metoda cramera
twierdzenie cramera
układ równań wyznacznik
rozwiąż układ równań
kalkulator cramera
wyznaczniki układ

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator wzorów Cramera [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/cramers-rule-calculator

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator wzorów Cramera." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/cramers-rule-calculator.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator wzorów Cramera," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/cramers-rule-calculator

BibTeX

@misc{wecalculate_cramers_rule_calculator, title = {Kalkulator wzorów Cramera}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/cramers-rule-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }

Czy ten kalkulator Ci pomógł?

Powiązane kalkulatory

Kalkulator układu równań (2x2)

Rozwiąż układ 2x2 równań liniowych za pomocą wzorów Cramera. Wprowadź współczynniki, aby natychmiast znaleźć x i y, wraz z wyznacznikiem i wykrywaniem przypadków szczególnych.

Beginner

Kalkulator macierzy odwrotnej

Znajdź odwrotność macierzy 2x2 lub 3x3 za pomocą wyznacznika i macierzy dołączonej. Wprowadź wiersze liczb; macierz musi być nieosobliwa.

Intermediate

Kalkulator wyznacznika macierzy

Oblicz wyznacznik macierzy 2x2 lub 3x3 wprowadzonej jako wiersze liczb; automatycznie wykrywa rozmiar.

Intermediate

Kalkulator równań liniowych

Rozwiąż natychmiast dowolne równanie liniowe postaci ax + b = 0 względem x. Darmowy kalkulator równań liniowych krok po kroku z obsługą przypadków szczególnych.

Beginner

Kalkulator wartości własnych macierzy 2x2

Znajdź wartości własne macierzy 2x2 z jej równania charakterystycznego. Wprowadź cztery elementy, aby uzyskać pierwiastki rzeczywiste lub zespolone.

Advanced

Kalkulator równań z wartością bezwzględną

Rozwiąż |ax+b|=c względem x i narysuj y=|ax+b| oraz y=c, aby zobaczyć punkty przecięcia.

Beginner