Kalkulator macierzy dopełnień i macierzy dołączonej
Oblicz macierz dopełnień algebraicznych, macierz dołączoną (adjugatę) oraz wyznacznik kwadratowej macierzy 2×2 lub 3×3.
Invertible when det(A) is nonzero
- 1
Cofactor C₁₁
4 × 6 − 5 × 0 = 24 - 2
Cofactor C₁₂ (sign −)
−(0 × 6 − 5 × 1) = 5 - 3
Cofactor C₁₃
0 × 0 − 4 × 1 = -4 - 4
Determinant (first-row expansion)
1 × 24 + 2 × 5 + 3 × -4 = 22det(A) = A₁₁·C₁₁ + A₁₂·C₁₂ + A₁₃·C₁₃
Jak działa ten kalkulator?
Dla macierzy 2×2 lub 3×3 każde dopełnienie algebraiczne Cᵢⱼ jest równe (-1)^(i+j) razy minor (wyznacznik pozostały po usunięciu wiersza i i kolumny j). Macierz dopełnień zbiera wszystkie Cᵢⱼ; macierz dołączona jest jej transpozycją, adj(A) = Cᵀ. Gdy det(A) ≠ 0, macierz odwrotna jest równa adj(A)/det(A).
Wzór
How this is calculated
Wprowadź macierz kwadratową A z jednym wierszem na linię, używając spacji lub przecinków do oddzielania elementów. Kalkulator akceptuje macierze 2×2 i 3×3; każdy wiersz musi mieć tę samą długość co liczba wierszy.
Dla każdej pozycji (i, j) usuwa wiersz i i kolumnę j, tworząc mniejszą podmacierz, a następnie oblicza jej wyznacznik — jest to minor Mᵢⱼ. Dopełnienie algebraiczne to Cᵢⱼ = (-1)^(i+j)·Mᵢⱼ, więc znak zmienia się naprzemiennie w układzie szachownicy, zaczynając od + w lewym górnym rogu. Zebranie każdego Cᵢⱼ daje macierz dopełnień C.
Macierz dołączona (zwana też adjugatą), adj(A), jest transpozycją macierzy dopełnień: adj(A) = Cᵀ. Wyznacznik znajduje się przez rozwinięcie wzdłuż pierwszego wiersza, det(A) = Σⱼ A₀ⱼ·C₀ⱼ. Gdy det(A) ≠ 0, macierz odwrotna to A⁻¹ = adj(A)/det(A). Wszystkie elementy są bezwymiarowe; jeśli det(A) = 0, macierz jest osobliwa i nie ma odwrotności, choć macierz dopełnień i macierz dołączona nadal istnieją.
Najczęściej zadawane pytania
Macierz dopełnień zbiera każdy minor ze znakiem Cᵢⱼ na jego pierwotnej pozycji. Macierz dołączona (adjugata) jest po prostu jej transpozycją, adj(A) = Cᵀ, więc wiersze i kolumny są zamienione.
Dla każdej macierzy odwracalnej A⁻¹ = adj(A) / det(A). Macierz dołączona daje liczniki, a wyznacznik jest wspólnym mianownikiem.
To narzędzie obsługuje tylko macierze kwadratowe 2×2 i 3×3. Dane wejściowe niekwadratowe lub wiersze o nierównej długości nie dadzą wyniku.
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator macierzy dopełnień i macierzy dołączonej [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/matrix-cofactor-adjugate-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator macierzy dopełnień i macierzy dołączonej." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/matrix-cofactor-adjugate-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator macierzy dopełnień i macierzy dołączonej," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/matrix-cofactor-adjugate-calculator
@misc{wecalculate_matrix_cofactor_adjugate_calculator, title = {Kalkulator macierzy dopełnień i macierzy dołączonej}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/matrix-cofactor-adjugate-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?