Kalkulator iloczynu mieszanego
Oblicz a·(b×c) dla trzech wektorów 3D oraz objętość równoległościanu, który rozpinają.
Equals the signed determinant det[a; b; c].
- 1
Cross product b×c: i
b₂·c₃ − b₃·c₂ = 2·3 − 0·0 = 6 - 2
Cross product b×c: j
b₃·c₁ − b₁·c₃ = 0·0 − 0·3 = 0 - 3
Cross product b×c: k
b₁·c₂ − b₂·c₁ = 0·0 − 2·0 = 0 - 4
Scalar triple product a·(b×c)
1·6 + 0·0 + 0·0 = 6Absolute value gives parallelepiped volume; sign shows orientation.
Jak działa ten kalkulator?
Iloczyn mieszany a·(b×c) mnoży wektor a przez iloczyn wektorowy b i c, dając pojedynczą liczbę równą wyznacznikowi det[a; b; c]. Jego wartość bezwzględna jest objętością równoległościanu rozpiętego przez trzy wektory, a jego znak ujawnia ich skrętność; zero oznacza, że są współpłaszczyznowe.
Wzór
How this is calculated
Wprowadź trzy wektory 3D a, b i c, każdy jako trzy składowe oddzielone przecinkami lub spacjami. Kalkulator najpierw tworzy iloczyn wektorowy b×c = (b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁), wektor prostopadły zarówno do b, jak i c, którego długość jest równa polu równoległoboku, który rozpinają.
Iloczyn mieszany to następnie iloczyn skalarny a·(b×c) = a₁(b×c)₁ + a₂(b×c)₂ + a₃(b×c)₃. Ta pojedyncza liczba jest identyczna z wyznacznikiem macierzy 3×3, której wierszami (lub kolumnami) są a, b i c, więc jest symetryczna względem cyklicznej permutacji: a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b).
Geometrycznie wartość bezwzględna |a·(b×c)| jest objętością równoległościanu o krawędziach a, b i c. Znak wskazuje orientację: dodatni dla układu prawoskrętnego, ujemny dla lewoskrętnego. Wynik równy zeru oznacza, że trzy wektory są liniowo zależne (współpłaszczyznowe), a równoległościan jest płaski o zerowej objętości. Wszystkie dane wejściowe muszą mieć dokładnie trzy składowe liczbowe; wynik niesie te same jednostki w sześcianie co dane wejściowe.
Najczęściej zadawane pytania
Oznacza, że trzy wektory są współpłaszczyznowe (liniowo zależne), więc tworzony przez nie równoległościan jest zdegenerowany i ma zerową objętość.
Iloczyn mieszany jest ze znakiem. Wartość dodatnia wskazuje orientację prawoskrętną a, b, c; wartość ujemna wskazuje orientację lewoskrętną. Objętość jest wartością bezwzględną.
Tak. Iloczyn mieszany jest równy wyznacznikowi macierzy utworzonej przez umieszczenie trzech wektorów jako jej wierszy (lub kolumn).
Znany również jako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulator iloczynu mieszanego [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pl/calculator/scalar-triple-product-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulator iloczynu mieszanego." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pl/calculator/scalar-triple-product-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulator iloczynu mieszanego," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pl/calculator/scalar-triple-product-calculator
@misc{wecalculate_scalar_triple_product_calculator, title = {Kalkulator iloczynu mieszanego}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/pl/calculator/scalar-triple-product-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Czy ten kalkulator Ci pomógł?