Calculadora de Área de Superfície de Revolução

Fórmula

How this is calculated

Escolha uma função f(x) e os limites de integração a e b. Ao girar a curva y = f(x) em torno do eixo x, cada ponto traça um círculo de raio |f(x)|, e um comprimento de arco infinitesimal ds = √(1 + f′(x)²) dx varre um fino frustum de área lateral 2π·|f(x)|·ds. A integração fornece a área de superfície total S = ∫_a^b 2π·|f(x)|·√(1 + f′(x)²) dx.

A derivada f′(x) é estimada numericamente com uma diferença central simétrica, f′(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h)) / (2h) com h = 1e-6, que é precisa de segunda ordem. A integral definida é então avaliada com a regra composta de Simpson em n = 1000 subintervalos, que tem erro O(h⁴) e lida com integrandos suaves com grande precisão. Se você inserir a > b, os limites são trocados para que a área permaneça positiva.

O valor absoluto |f(x)| garante que o raio seja não negativo mesmo onde f fica abaixo do eixo. Os resultados assumem que f é contínua e diferenciável em [a, b]; cantos abruptos ou tangentes verticais (por exemplo √x em x = 0) podem reduzir ligeiramente a precisão. As unidades do resultado são o quadrado das unidades usadas para x e f.