Решатель кубических уравнений
Найдите все вещественные и комплексные корни любого кубического уравнения ax³ + bx² + cx + d = 0 и посмотрите на график кривой.
- 1
Shift: t = x + b/(3a)
6 ÷ (3 × 1) = 2Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0. - 2
p = (3ac − b²) ÷ (3a²)
(3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = -1 - 3
q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)
0 ÷ 27 = 0 - 4
Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³
(0 ÷ 2)² + (-1 ÷ 3)³ = -0,0370Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
Как работает этот калькулятор?
Кубическое уравнение ax³ + bx² + cx + d = 0 всегда имеет три корня. Решатель сводит его к депрессированному кубическому, проверяет дискриминант Δ = (q/2)² + (p/3)³, затем применяет формулу Кардано для одного вещественного корня или тригонометрическую формулу для трёх вещественных корней, выводя каждый корень и строя график кривой.
Формула
How this is calculated
Введите четыре коэффициента a, b, c и d. Старший коэффициент a должен быть ненулевым, иначе уравнение не является кубическим и калькулятор не выдаёт результата. Сначала уравнение мысленно делится на a и сводится к депрессированному кубическому t³ + pt + q = 0 с помощью подстановки x = t − b/(3a), где p = (3ac − b²)/(3a²) и q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).
Природа корней определяется дискриминантом Δ = (q/2)² + (p/3)³, который пропорционален −(4p³ + 27q²). При Δ > 0 существует ровно один вещественный корень, вычисляемый по формуле Кардано t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ), плюс комплексно-сопряжённая пара. При Δ ≤ 0 все три корня вещественны и находятся по устойчивой тригонометрической формуле t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3) для k = 0, 1, 2.
Каждое t сдвигается обратно на −b/(3a) для восстановления x. Комплексные корни записываются в виде вещественной части плюс или минус мнимая часть (…i). График изображает y = ax³ + bx² + cx + d в области, охватывающей вещественные корни; каждое пересечение с осью x отмечает вещественный корень. Результаты точны в пределах погрешности арифметики с плавающей точкой; очень большие отношения коэффициентов могут привносить небольшую числовую ошибку.
Часто задаваемые вопросы
Если a = 0, член x³ исчезает и уравнение становится квадратным (или ещё более низкого порядка), а не кубическим, поэтому кубический метод не применим. Воспользуйтесь решателем квадратных уравнений.
Любое кубическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет ровно три корня с учётом кратности: либо три вещественных корня, либо один вещественный и пара комплексно-сопряжённых.
Δ > 0 означает один вещественный и два комплексных корня; Δ = 0 означает кратный вещественный корень; Δ < 0 означает три различных вещественных корня.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Решатель кубических уравнений [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/cubic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Решатель кубических уравнений." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/cubic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Решатель кубических уравнений," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/cubic-equation-solver
@misc{wecalculate_cubic_equation_solver, title = {Решатель кубических уравнений}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/cubic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?