Калькулятор собственных значений матрицы 2x2
Вычислите собственные значения любой матрицы 2×2, решив её характеристическое уравнение; результатом будут вещественные или комплексно-сопряжённые корни.
Second eigenvalue λ₂: 2
- 1
Trace T = a + d
4 + 3 = 7 - 2
Determinant D = ad − bc
4 × 3 − 1 × 2 = 10 - 3
Discriminant Δ = T² − 4D
7² − 4 × 10 = 9 - 4
Eigenvalue λ₁ = (T + √Δ) ÷ 2
(7 + 3) ÷ 2 = 5
Как работает этот калькулятор?
Для матрицы A = [[a,b],[c,d]] размером 2×2 собственные значения удовлетворяют уравнению λ² − Tλ + D = 0, где след T = a+d и определитель D = ad−bc. По формуле с дискриминантом λ = (T ± √(T²−4D))/2. Неотрицательный дискриминант даёт вещественные корни; отрицательный — комплексно-сопряжённую пару.
Формула
How this is calculated
Введите матрицу A = [[a, b], [c, d]] размером 2×2 двумя строками по два числа. Калькулятор считывает все четыре элемента, затем вычисляет след T = a + d и определитель D = ad − bc. Эти два скаляра полностью определяют собственные значения матрицы 2×2.
Собственные значения являются корнями характеристического многочлена det(A − λI) = λ² − Tλ + D = 0. Решая по формуле с дискриминантом, получаем λ = (T ± √Δ)/2, где Δ = T² − 4D. При Δ ≥ 0 оба собственных значения вещественны (равны при Δ = 0); при Δ < 0 они образуют комплексно-сопряжённую пару λ = T/2 ± (√(−Δ)/2)·i.
Все элементы считаются точными вещественными числами, а результаты округляются до четырёх значащих цифр для отображения. Метод работает для любой вещественной матрицы 2×2, включая вырожденные матрицы (D = 0, дающие собственное значение 0) и случаи кратных корней. Обратите внимание, что собственные значения описывают направления масштабирования линейного отображения; соответствующие собственные векторы здесь не вычисляются.
Часто задаваемые вопросы
Когда дискриминант Δ = T² − 4D отрицателен. Тогда корни образуют комплексно-сопряжённую пару T/2 ± (√(−Δ)/2)·i, что обычно указывает на вращательное поведение линейного отображения.
След равен сумме собственных значений (λ₁ + λ₂ = T), а определитель равен их произведению (λ₁·λ₂ = D). Эти соотношения позволяют быстро проверить вычисленные значения.
Да. При Δ = 0 матрица имеет кратное собственное значение λ = T/2. В этом случае матрица может быть диагонализируемой, а может и нет, однако само значение определяется корректно.
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор собственных значений матрицы 2x2 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/eigenvalue-calculator-2x2
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор собственных значений матрицы 2x2." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/eigenvalue-calculator-2x2.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор собственных значений матрицы 2x2," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/eigenvalue-calculator-2x2
@misc{wecalculate_eigenvalue_calculator_2x2, title = {Калькулятор собственных значений матрицы 2x2}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/eigenvalue-calculator-2x2}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?