Калькулятор смешанного произведения векторов
Вычислите a·(b×c) для трёх трёхмерных векторов и объём параллелепипеда, натянутого на них.
Equals the signed determinant det[a; b; c].
- 1
Cross product b×c: i
b₂·c₃ − b₃·c₂ = 2·3 − 0·0 = 6 - 2
Cross product b×c: j
b₃·c₁ − b₁·c₃ = 0·0 − 0·3 = 0 - 3
Cross product b×c: k
b₁·c₂ − b₂·c₁ = 0·0 − 2·0 = 0 - 4
Scalar triple product a·(b×c)
1·6 + 0·0 + 0·0 = 6Absolute value gives parallelepiped volume; sign shows orientation.
Как работает этот калькулятор?
Смешанное произведение a·(b×c) умножает вектор a на векторное произведение b и c, давая одно число, равное определителю det[a; b; c]. Его абсолютное значение — это объём параллелепипеда, натянутого на три вектора, а знак указывает их ориентацию; ноль означает компланарность.
Формула
How this is calculated
Введите три трёхмерных вектора a, b и c, каждый из трёх компонент, разделённых запятыми или пробелами. Калькулятор сначала вычисляет векторное произведение b×c = (b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁) — вектор, перпендикулярный как b, так и c, модуль которого равен площади параллелограмма, натянутого на b и c.
Смешанное произведение вычисляется как скалярное произведение a·(b×c) = a₁(b×c)₁ + a₂(b×c)₂ + a₃(b×c)₃. Это число совпадает с определителем матрицы 3×3, строками (или столбцами) которой являются a, b и c, поэтому оно симметрично относительно циклических перестановок: a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b).
Геометрически абсолютное значение |a·(b×c)| — это объём параллелепипеда с рёбрами a, b и c. Знак указывает ориентацию: положительный для правой тройки, отрицательный — для левой. Нулевой результат означает, что три вектора линейно зависимы (компланарны), а параллелепипед вырожден и имеет нулевой объём. Все входные данные должны содержать ровно три числовых компонента; единицы измерения результата — кубы единиц входных данных.
Часто задаваемые вопросы
Это означает, что три вектора компланарны (линейно зависимы), поэтому образованный ими параллелепипед вырожден и имеет нулевой объём.
Смешанное произведение имеет знак. Положительное значение указывает на правую ориентацию a, b, c; отрицательное — на левую. Объём — это абсолютное значение.
Да. Смешанное произведение равно определителю матрицы, образованной размещением трёх векторов в её строках (или столбцах).
Также известен как
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор смешанного произведения векторов [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/ru/calculator/scalar-triple-product-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор смешанного произведения векторов." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/ru/calculator/scalar-triple-product-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор смешанного произведения векторов," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/ru/calculator/scalar-triple-product-calculator
@misc{wecalculate_scalar_triple_product_calculator, title = {Калькулятор смешанного произведения векторов}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/ru/calculator/scalar-triple-product-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Этот калькулятор вам помог?