Kalkulačka zmiešaného súčinu
Vypočítajte a·(b×c) pre tri 3D vektory a objem rovnobežnostenu, ktorý rozpínajú.
Equals the signed determinant det[a; b; c].
- 1
Cross product b×c: i
b₂·c₃ − b₃·c₂ = 2·3 − 0·0 = 6 - 2
Cross product b×c: j
b₃·c₁ − b₁·c₃ = 0·0 − 0·3 = 0 - 3
Cross product b×c: k
b₁·c₂ − b₂·c₁ = 0·0 − 2·0 = 0 - 4
Scalar triple product a·(b×c)
1·6 + 0·0 + 0·0 = 6Absolute value gives parallelepiped volume; sign shows orientation.
Ako táto kalkulačka funguje?
Zmiešaný súčin a·(b×c) vynásobí vektor a vektorovým súčinom b a c a dá jediné číslo rovné determinantu det[a; b; c]. Jeho absolútna hodnota je objem rovnobežnostenu rozpínaného troma vektormi a jeho znamienko odhaľuje ich orientáciu; nula znamená, že sú koplanárne.
Vzorec
How this is calculated
Zadajte tri 3D vektory a, b a c, každý ako tri zložky oddelené čiarkami alebo medzerami. Kalkulačka najprv vypočíta vektorový súčin b×c = (b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁), vektor kolmý na b aj c, ktorého veľkosť sa rovná ploche rovnobežníka, ktorý tieto vektory rozpínajú.
Zmiešaný súčin je potom skalárny súčin a·(b×c) = a₁(b×c)₁ + a₂(b×c)₂ + a₃(b×c)₃. Toto jediné číslo je totožné s determinantom matice 3×3, ktorej riadky (alebo stĺpce) sú a, b a c, a je preto symetrické pri cyklickej permutácii: a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b).
Geometricky je absolútna hodnota |a·(b×c)| objemom rovnobežnostenu s hranami a, b a c. Znamienko určuje orientáciu: kladné pre pravotočivú trojicu, záporné pre ľavotočivú. Výsledok nula znamená, že tri vektory sú lineárne závislé (koplanárne) a rovnobežnosten je plochý s nulovým objemom. Všetky vstupy musia mať presne tri číselné zložky; výstup nesie rovnaké jednotky ako vstupy, avšak v tretej mocnine.
Často kladené otázky
Znamená to, že tri vektory sú koplanárne (lineárne závislé), takže rovnobežnosten, ktorý tvoria, je degenerovaný a má nulový objem.
Zmiešaný súčin je so znamienkom. Kladná hodnota označuje pravotočivú orientáciu a, b, c; záporná hodnota označuje ľavotočivú orientáciu. Objem je absolútna hodnota.
Áno. Zmiešaný súčin sa rovná determinantu matice zostavenej z troch vektorov ako jej riadkov (alebo stĺpcov).
Známe aj ako
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Kalkulačka zmiešaného súčinu [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/sk/calculator/scalar-triple-product-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Kalkulačka zmiešaného súčinu." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/sk/calculator/scalar-triple-product-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Kalkulačka zmiešaného súčinu," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/sk/calculator/scalar-triple-product-calculator
@misc{wecalculate_scalar_triple_product_calculator, title = {Kalkulačka zmiešaného súčinu}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/sk/calculator/scalar-triple-product-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Pomohla vám táto kalkulačka?