Калькулятор похідної за напрямком
Знайдіть, як швидко змінюється функція f(x, y) у точці при русі вздовж заданого напрямку.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Як працює цей калькулятор?
Похідна за напрямком D_u f вимірює, наскільки швидко змінюється f(x, y) у точці при русі вздовж обраного напрямку. Вона дорівнює градієнту ∇f = (fx, fy), скалярно помноженому на одиничний вектор напрямку û. Цей інструмент оцінює градієнт за допомогою центральних різниць, нормалізує ваш вектор і повертає D_u f разом із частинними похідними.
Формула
How this is calculated
Оберіть функцію f(x, y) і точку (x, y), потім задайте вектор напрямку (u1, u2). Калькулятор спочатку оцінює градієнт ∇f = (fx, fy) за допомогою симетричної (центральної) різниці з малим кроком h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) та fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). Центральні різниці використовуються, тому що їхня похибка порядку O(h²), що робить їх значно точнішими за односторонні різниці.
Вектор напрямку потім нормалізується до одиничного вектора û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), оскільки похідна за напрямком визначена для напрямку одиничної довжини. Результат — скалярний добуток D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, що дає миттєву швидкість зміни f у точці в цьому напрямку.
Одиниці відповідають f: D_u f має одиниці f на одиницю довжини шляху. Якщо вектор напрямку — нульовий вектор, його довжина дорівнює нулю і результат невизначений, тому цей випадок не дає відповіді. Максимально можлива похідна за напрямком у точці дорівнює модулю градієнта |∇f| і досягається в напрямку самого градієнта; рух перпендикулярно до градієнта дає нуль.
Поширені запитання
Похідна за напрямком визначається вздовж одиничного напрямку. Нормалізація (u1, u2) за його довжиною прибирає вплив модуля вектора, тому результат відображає лише напрямок, а не довжину вектора.
Центральні різниці з h = 1e-5 мають похибку, пропорційну h², тому для гладких функцій градієнт зазвичай точний до багатьох значущих цифр, що добре збігається з точними аналітичними частинними похідними.
Напрямок самого градієнта ∇f, де D_u f дорівнює модулю градієнта |∇f|. Протилежний напрямок дає найбільш від'ємне значення, а напрямки, перпендикулярні ∇f, дають нуль.
Також відомий як
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор похідної за напрямком [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор похідної за напрямком." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор похідної за напрямком," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/directional-derivative-calculator
@misc{wecalculate_directional_derivative_calculator, title = {Калькулятор похідної за напрямком}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/directional-derivative-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Чи допоміг вам цей калькулятор?