Advanced

Калькулятор вектора градієнта

Обчисліть градієнт ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) функції двох змінних у вибраній точці разом із його модулем.

Function f(x, y)

Pick a two-variable function

Magnitude |∇f|

4,4721

Length of the gradient vector at the point

∂f/∂x

∂f/∂y

Gradient ∇f

(2, 4)

Gradient ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) — component partials combine into the steepest-ascent vector

Step by step

1
∂f/∂x at (x, y)
2
Estimated by central difference: [f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ 2h with h = 10⁻⁵.
2
∂f/∂y at (x, y)
4
3
Magnitude |∇f|
√(2² + 4²) = 4,4721

Результати є приблизними оцінками лише для загального ознайомлення та не є професійною порадою — завжди самостійно перевіряйте важливі результати, перш ніж покладатися на них. Прочитати повне застереження.

Швидка відповідь

Як працює цей калькулятор?

Градієнт ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) збирає частинні похідні функції і вказує у напрямку її найстрімкішого зростання. Цей інструмент чисельно обчислює обидві частинні похідні за допомогою центральних різниць у вибраній точці та повертає компоненти і модуль |∇f| = √(fx² + fy²) — швидкість найшвидшої зміни в цій точці.

Формула

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y), |∇f| = √( (∂f/∂x)² + (∂f/∂y)² )

How this is calculated

Градієнт скалярної функції f(x, y) — це вектор її перших частинних похідних, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Він вказує у напрямку найстрімкішого зростання f, а його модуль |∇f| — швидкість цього зростання. Оберіть функцію зі списку та введіть точку (x, y), у якій потрібно обчислити градієнт.

Кожна частинна похідна оцінюється чисельно за допомогою симетричної (центральної) формули різниць, ∂f/∂x ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) з малим кроком h = 1e-5, аналогічно для ∂f/∂y. Центральні різниці мають точність другого порядку, тому для гладких функцій результат збігається з точною аналітичною похідною до кількох знаків після коми. Модуль — це евклідова норма двох компонент.

Вхідні x та y — звичайні дійсні числа в одиницях, які використовує функція; компоненти градієнта мають одиниці f на одиницю x (або y). Уникайте точок, де функція невизначена або має особливу точку — наприклад, f = ln(x² + y²) звертається до нескінченності в початку координат, і дуже малий знаменник робить чисельну похідну ненадійною. В точці локального екстремуму або сідлової точки градієнт — нульовий вектор, тому модуль дорівнює нулю.

Поширені запитання

Це найбільша швидкість зміни функції в даній точці. Вектор градієнта вказує у напрямку найшвидшого зростання, а |∇f| — наскільки швидко зростає f в цьому напрямку на одиницю відстані.

Центральні різниці дозволяють інструменту обчислити градієнт для будь-якої вибраної функції без символьного диференціювання. З кроком h = 1e-5 вони точні приблизно до відносної похибки 1e-10 для гладких функцій.

У критичних точках — локальних максимумах, мінімумах та сідлових точках — обидві частинні похідні зникають, тому ∇f = (0, 0) та модуль дорівнює 0.

Також відомий як

градієнт функції

вектор градієнта

набла f

обчислити градієнт

gradient

gradient calculator

gradient vector

del f

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор вектора градієнта [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/gradient-calculator

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор вектора градієнта." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/gradient-calculator.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор вектора градієнта," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/gradient-calculator

BibTeX

@misc{wecalculate_gradient_calculator, title = {Калькулятор вектора градієнта}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/gradient-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }

Чи допоміг вам цей калькулятор?