二項式展開計算機
逐項展開任何二項式 (a + b)^n，並讀取每一個二項式係數。
- 1
Base sum a + b
1 + 2 = 3 - 2
Number of terms n + 1
4 + 1 = 5 - 3
Total (a + b)ⁿ — sum of all binomial terms
81The binomial theorem guarantees this equals the sum of all C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ terms.
此計算機如何運作？
二項式定理將 (a + b)^n 展開為 n+1 項，每項等於 C(n,k)·a^(n-k)·b^k，其中 k = 0…n。係數 C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) 是帕斯卡三角形的元素。本工具列出每一項、其係數及其值，並驗證各項之和等於 (a + b)^n。
公式
How this is calculated
二項式定理將和的冪次 (a + b)^n 展開為 n+1 項之和。第 k 項（k = 0, 1, …, n）為 C(n,k)·a^(n-k)·b^k，其中二項式係數 C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) 計算從 n 個中選取 k 個的方式數。輸入第一項 a、第二項 b 和指數 n。
係數 C(n,k) 構成帕斯卡三角形的第 n 行，且是對稱的：C(n,k) = C(n,n-k)。這裡使用乘積公式 C(n,k) = Π[i=1..k] (n-k+i)/i 計算，避免直接計算大階乘，從而保持整數係數的精確性。每個輸出項顯示其係數、符號形式及給定 a 和 b 的數值；水平條形比較每項 |value| 的大小。
指數必須是非負整數（此處限制為 0–60 以保持數字有限）。所有數值項之和精確等於 (a + b)^n，這是內建驗證。當 a 或 b 為負數時，項可能為負，因此條形圖使用絕對值，而顯示的標籤保留帶符號的數值。
常見問題
它指出 (a + b)^n = Σ C(n,k)·a^(n-k)·b^k，k 從 0 到 n。它將一個兩項和的冪次轉化為 n+1 項的明確和，其係數為二項式係數。
係數 C(n,0), C(n,1), …, C(n,n) 恰好是帕斯卡三角形第 n 行的元素。每個元素是其上方兩個元素之和，且該行是對稱的。
此處使用的有限二項式定理要求 n 為非負整數。負數或分數指數給出的是無限級數而非有限展開，本計算機不生成此類結果。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 二項式展開計算機 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/binomial-expansion-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "二項式展開計算機." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/binomial-expansion-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "二項式展開計算機," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/binomial-expansion-calculator
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