巴斯卡三角形列計算器
輸入列索引 n，立即獲得巴斯卡三角形第 n 列的完整內容，包括其總和與最大係數。
Sum of all coefficients in this row
- 1
C(n,0) = 1
1Every row starts with 1. - 2
C(n,1) = C(n,0) × n ÷ 1
1 × 6 ÷ 1 = 6 - 3
Row sum = 2^n
2^6 = 64The sum of all binomial coefficients in row n equals 2^n (binomial theorem with x=y=1).
此計算機如何運作？
輸入列索引 n，此工具返回巴斯卡三角形第 n 列——從 C(n,0) 到 C(n,n) 的二項式係數。它使用遞推公式 C(n,k) = C(n,k−1)·(n−k+1)/k 構建，顯示對稱鐘形分佈、項數（n+1），並確認列和等於 2^n。
公式
How this is calculated
巴斯卡三角形是二項式係數的陣列，其中每個元素等於其上方兩個元素的和。唯一的輸入 n 是從 0 開始的列索引：第 0 列為 [1]，第 1 列為 [1, 1]，第 2 列為 [1, 2, 1]，依此類推。計算器以迭代方式構建該列，而非分別計算每個階乘。它從 C(n,0) = 1 開始，應用遞推公式 C(n,k) = C(n,k−1) · (n−k+1) / k，k 從 1 到 n。由於每個中間值都是精確整數，這種乘法方法避免了直接計算 n! 可能產生的溢位，且速度快得多。
該列有 n + 1 個項，具有對稱性（C(n,k) = C(n,n−k)），並形成在中央達到峰值的鐘形分佈。第 n 列所有係數的和等於 2^n，這源於令 x = y = 1 的二項式定理：(1 + 1)^n = Σ C(n,k)。這些係數正是展開 (x + y)^n 時出現的乘數。
輸入必須是非負整數。非整數、負數或空值均不產生結果。對於非常大的 n，係數超出雙精度浮點數的精度範圍，因此幾百以上的結果應視為近似值。
常見問題
第 0 列就是 [1]。三角形從 0 開始索引，因此最頂端的單一 1 是第 0 列，[1, 1] 是第 1 列，[1, 2, 1] 是第 2 列。
在二項式定理中令 x = y = 1 得 (1 + 1)^n = Σ C(n,k)，因此第 n 列的係數總和始終等於 2^n。
計算器從 C(n,0) = 1 開始，使用遞推公式 C(n,k) = C(n,k−1)·(n−k+1)/k，每步都保持精確整數，避免階乘溢位。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 巴斯卡三角形列計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/pascals-triangle-row-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "巴斯卡三角形列計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/pascals-triangle-row-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "巴斯卡三角形列計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/pascals-triangle-row-calculator
@misc{wecalculate_pascals_triangle_row_calculator, title = {巴斯卡三角形列計算器}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/pascals-triangle-row-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
這個計算機對您有幫助嗎？