卡特蘭數計算器
求第 n 個卡特蘭數，並觀察序列 1, 1, 2, 5, 14, 42, … 隨 n 增大的爆炸式增長。
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3.333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3.333333 = 1,430
此計算機如何運作？
第 n 個卡特蘭數為 Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!)。它計算平衡括號、完全二叉樹、格點路徑和多邊形三角剖分的數量。序列起始為 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, …，增長速度約為 4ⁿ。輸入任意整數 n ≥ 0 可得 Cₙ 及完整增長曲線。
公式
How this is calculated
輸入非負整數 n。卡特蘭數 Cₙ 計數大量組合對象：正確匹配 n 對括號的方式數、具有 n+1 個葉節點的完全二叉樹數、保持在對角線以下的單調格點路徑數，以及凸 (n+2) 邊形的三角剖分數——所有這些都等於同一個 Cₙ。
封閉形式為 Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!)，等效地為中心二項式係數 C(2n, n) 除以 (n+1)。直接計算階乘會很快溢出，因此此計算器使用精確整數遞迴 C₀ = 1 和 C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2)。每一步乘以一個整數值因子，使運行值在雙精度允許的範圍內保持精確，並建立繪製在增長曲線中的完整序列 C₀…Cₙ。
值是無量綱的計數，因此只有整數 n ≥ 0 有意義；分數輸入會向下取整。由於 Cₙ 的增長大約為 4ⁿ / (n^{3/2}√π)，超過約 n = 30 後數字超出 64 位元浮點的精確整數範圍，且超過 n ≈ 170 後完全溢出，因此輸入上限為 170，大的結果以科學記數法顯示。
常見問題
序列起始為 C₀ = 1、C₁ = 1、C₂ = 2、C₃ = 5、C₄ = 14、C₅ = 42、C₆ = 132、C₇ = 429 和 C₈ = 1430。
由遞迴可知，Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1)，當 n 增大時趨近於 4。這反映了漸近增長 Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π)。
卡特蘭數呈指數增長。超過 n ≈ 170 後，值超過最大可表示雙精度數字（~1.8×10³⁰⁸），因此更大的輸入無法用標準浮點精確計算。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 卡特蘭數計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "卡特蘭數計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "卡特蘭數計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/catalan-number-calculator
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