三角數計算器
求第 n 個三角數，列出數列 T(1…n)，並判斷任意值是否為三角數。
Sum of all integers from 1 to 10
- 1
n + 1
10 + 1 = 11 - 2
n × (n + 1)
10 × 11 = 110 - 3
T(n) = n × (n + 1) ÷ 2
110 ÷ 2 = 55The Gauss formula: T(n) equals the sum 1 + 2 + … + n.
此計算機如何運作？
第 n 個三角數為 T(n) = n(n+1)/2，即 1+2+3+…+n 的總和。輸入 n 可立即得到 T(n) 並查看完整數列圖表。若 8x+1 是完全平方數，則數 x 是三角數；例如 55 是三角數，因為 8×55+1 = 441 = 21²，是第 10 個三角數。
公式
How this is calculated
輸入正整數 n（項的索引）。第 n 個三角數是前 n 個自然數之和，即 1 + 2 + … + n。計算器不逐項相加，而是使用高斯封閉公式 T(n) = n(n+1)/2，對任意 n 都能精確且即時地計算。
計算器還會建立並繪製 T(1), T(2), …, T(n) 的遞增數列。由於 T(n) 的增長速度約為 n²/2，面積曲線呈明顯的二次方（向上彎曲）形狀。為了顯示效能，列出和繪製的數列最多顯示前 200 項，但標題顯示的 T(n) 始終直接由公式計算，對您輸入的任意 n 均精確。
可選的測試值使用數論事實：非負整數 x 是三角數，當且僅當 8x + 1 是完全平方數。若是，則項索引可由 (√(8x+1) − 1) / 2 求得。輸入值被視為整數；分數或負數 n 將被拒絕，且測試僅適用於非負整數。
常見問題
它是 1 + 2 + 3 + … + n 的和，等於 n(n+1)/2。例如 T(5) = 5×6/2 = 15。
非負整數 x 是三角數，當且僅當 8x + 1 是完全平方數。例如 8×55 + 1 = 441 = 21²，所以 55 是三角數（即 T(10)）。
三角數呈二次方增長：T(n) = n(n+1)/2 ≈ n²/2，因此每一步加的量越來越大，繪製的曲線也向上彎曲。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 三角數計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/triangular-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "三角數計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/triangular-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "三角數計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/triangular-number-calculator
@misc{wecalculate_triangular_number_calculator, title = {三角數計算器}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/triangular-number-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
這個計算機對您有幫助嗎？