超幾何分佈計算器
計算從大小為 N 且包含 K 個成功的有限母體中，不放回抽取 n 個，恰好得到 k 個成功的機率。
Chance of exactly that many successes
- 1
Ways to choose k successes
C(15, 3) = 455 - 2
Ways to choose n−k failures
C(35, 7) = 6,724,520 - 3
Ways to choose n from N
C(50, 10) = 10,272,278,170 - 4
P(X = k)
455 × 6,724,520 ÷ 10,272,278,170 = 0.29786Favourable combinations divided by all possible samples of size n.
此計算機如何運作？
超幾何分佈給出從包含 K 個成功的 N 個母體中不放回抽取 n 個，得到 k 個成功的機率：P(X=k)=C(K,k)·C(N−K,n−k)/C(N,n)。其均值為 nK/N，變異數為 nK/N·(N−K)/N·(N−n)/(N−1)，最後一個因子是有限母體修正。
公式
How this is calculated
超幾何分佈模擬從有限母體中不放回抽樣。你需要提供四個正整數：母體大小 N、母體中的成功數量 K、抽取個數 n，以及觀測到的成功數量 k。機率質量函數計算有利組合數 C(K, k) · C(N−K, n−k)——選取 k 個成功和剩餘 n−k 個失敗的方式——除以 C(N, n)（從母體中選取樣本的總方式數）。
k 的有效範圍從 max(0, n−(N−K)) 到 min(n, K)；此支撐範圍外的值機率為零。均值為 n·K/N，變異數為 n·(K/N)·((N−K)/N)·((N−n)/(N−1))。最後一個因子 (N−n)/(N−1) 是有限母體修正，是超幾何分佈與二項分佈的區別所在；當 N 相對於 n 很大時，此因子趨近 1，兩個分佈趨於一致。
二項式係數透過對數伽瑪函數計算，以避免大型母體時的溢位問題。輸入必須為非負整數，且 K ≤ N 及 n ≤ N。此模型廣泛應用於品質控制（驗收抽樣）、卡牌與彩票問題，以及生態標記重捕估算。
常見問題
二項分佈假設有放回抽樣（成功機率恆定）。超幾何分佈為不放回抽樣，因此每次抽取會改變剩餘組成。當母體遠大於樣本時，兩者高度接近。
觀測的 k 必須在支撐範圍 max(0, n−(N−K)) 到 min(n, K) 之內。例如，不可能抽到比母體中存在的更多成功，或超過抽取次數的成功，因此不可能的值返回零。
即變異數中的因子 (N−n)/(N−1)。它減小變異數，因為從有限母體中不放回抽樣比獨立抽樣留下更少的不確定性。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 超幾何分佈計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/hypergeometric-distribution-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "超幾何分佈計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/hypergeometric-distribution-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "超幾何分佈計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/hypergeometric-distribution-calculator
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