極限計算器
透過從兩側對函數進行採樣，數值估計函數在 x 趨近指定值時的極限。
Function f(x)
Left and right estimates agree
此計算機如何運作？
極限描述 x 趨近 c 時函數趨向的值。此計算器在 c 左右採樣 f(x)（c ± 10⁻ᵏ）。若兩側趨近同一個數，其平均值即為雙側極限；若兩側不同，則極限不存在。
公式
How this is calculated
選擇函數 f(x) 和 x 趨近的值 c。計算器對 k = 1 到 6 評估 f 在 c − 10⁻ᵏ 和 c + 10⁻ᵏ 處的值，穩步從左側和右側逼近 c。每側在最小有限步長處達到的值作為單側（左側和右側）極限估計回報。
若左右估計在小容差範圍內一致（約按量級縮放 1e-4），其平均值作為雙側極限回報。若兩者不一致——例如 |x|/x 在 0 處，左側給出 −1，右側給出 +1——則雙側極限不存在。這反映了正式定義：雙側極限僅在兩個單側極限都存在且相等時才存在。
這是數值估計，而非符號證明。無限震盪的函數（如 sin(1/x) 在 0 附近）或趨近無窮的函數可能誤導採樣，且浮點取整在極陡峭的區域附近限制精度。對於可去間斷點，如 sin(x)/x 在 0 處或 (x²−1)/(x−1) 在 1 處，此方法可清晰恢復真實極限（分別為 1 和 2）。
常見問題
雙側極限僅在左右單側極限都有限且相等時存在。當兩者不同（跳躍）或一側發散時，計算器回報極限不存在。
不是。這是透過對 c 附近函數進行採樣得到的數值估計。對連續函數和可去間斷點效果良好，但可能被劇烈震盪或快速發散的函數所誤導。
此工具計算 x 趨近有限值 c 時的極限。如需近似無窮處的行為，可輸入較大的 c 並觀察趨勢，但專用的端點行為分析更為可靠。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 極限計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/limit-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "極限計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/limit-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "極限計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/limit-calculator
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