模反元素計算器
使用擴展歐幾里得演算法計算整數 a 模 m 的模乘法逆元。
此計算機如何運作？
a 模 m 的模反元素是 [0, m) 中的整數 x，滿足 a·x ≡ 1 (mod m)。只有當 gcd(a, m) = 1 時才存在，使用擴展歐幾里得演算法求得後正規化為正餘數。若 a 與 m 有公因數，則不存在逆元。
公式
How this is calculated
將 a 對 m 取模使其落在 [0, m) 的範圍內，模數 m 必須是大於 1 的整數。然後對 (a mod m, m) 執行擴展歐幾里得演算法，同時求出最大公因數 gcd(a, m) 和貝祖係數 x，使得 a·x + m·y = gcd(a, m)。
模反元素存在的條件是 gcd(a, m) = 1。當條件滿足時，原始係數 x 可能為負，因此使用 ((x mod m) + m) mod m 將其正規化至 [0, m)。回傳的逆元滿足 (a · x) mod m = 1，顯示於驗證統計中。若 gcd(a, m) ≠ 1，則不存在逆元，並回報公因數。
所有運算在內部使用 BigInt 以避免大整數的精度損失。輸入必須為整數；非整數值將被拒絕。a 的負值透過取模處理，例如 -8 mod 11 被視為 3。
常見問題
a 模 m 的逆元只在 a 與 m 互質時存在，即 gcd(a, m) = 1。若它們有大於 1 的公因數，則不存在整數 x 滿足 a·x ≡ 1 (mod m)。
不需要。模數可以是任何大於 1 的整數。當 m 是質數時，從 1 到 m−1 的每個 a 都有逆元，因為它們都與 m 互質；但對任何與 m 互質的 a，合成數模數同樣有效。
在演算法執行前，數字 a 首先被取模歸入 [0, m) 的範圍，因此負數輸入以其正餘數處理。求得的逆元也被正規化至 [0, m)。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 模反元素計算器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/modular-inverse-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "模反元素計算器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/modular-inverse-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "模反元素計算器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/modular-inverse-calculator
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