二次方程式求解器
求解任何二次方程式，並查看其根與判別式。
兩個實根
- 1
b²
(-3)² = 9 - 2
4ac
4 × 1 × 2 = 8 - 3
判別式
9 − 8 = 1 - 4
Root x₁
(3 + √1) ÷ (2 × 1) = 2x₁ is the larger of the two roots.
公式
How this is calculated
二次方程式的形式為 ax² + bx + c = 0，其中 a、b 和 c 是您輸入的數字。係數 a 乘以 x²，且不得為零——若為零，方程式就會是線性的而非二次的。係數 b 乘以 x，而 c 是獨立的常數項。求解器套用二次公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a，它給出拋物線與零交會處的精確 x 值。
關鍵量是判別式 D = b² − 4ac，會最先計算。它的正負號無需任何額外運算即可決定根的性質：D > 0 產生兩個相異實根，D = 0 產生一個重根（拋物線恰好觸及 x 軸），而 D < 0 產生一對共軛複數根，寫成 re ± im·i。
這些輸入是無單位的純數字，因此結果帶有您問題所隱含的任何單位。計算使用標準浮點運算，因此非常大的係數或彼此極為接近的根，可能在顯示的數值上呈現微小的捨入差異。
範例
| 輸入 | 結果 |
|---|---|
| Solve x^2 - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) | Discriminant 1, two real roots: x = 3 and x = 2 |
| Solve x^2 - 4x + 4 = 0 (a=1, b=-4, c=4) | Discriminant 0, one repeated root: x = 2 |
| Solve x^2 + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Discriminant -16, two complex roots: x = -1 + 2i and x = -1 - 2i |
| Solve 2x^2 + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2) | Discriminant 25, two real roots: x = 0.5 and x = -2 |
關於此計算機
二次方程式求解器尋找滿足形如 ax^2 + bx + c = 0 之方程式的 x 值，其中 a、b、c 為常數且 a 不為零。這些解稱為方程式的根，在幾何上它們是拋物線 y = ax^2 + bx + c 與水平軸相交的點。
求解器套用二次公式 x = (-b 加或減 (b^2 - 4ac) 的平方根) 除以 2a。平方根底下的式子 b^2 - 4ac 稱為判別式，它在您甚至還沒算完之前就決定了根的性質。若判別式為正，則有兩個相異實根；若它正好為零，則有一個重根（實根）；若它為負，則有兩個涉及虛數單位 i 的共軛複根。
要使用本工具，請完全照您方程式中出現的樣子輸入三個係數 a、b、c，包括任何負號。求解器會回報判別式，告訴您存在多少個實根或複根，然後給出根本身。先顯示判別式可讓您理解結果，而不只是讀一個數字。
解讀輸出就是將根與判別式對應起來。兩個實根表示拋物線在兩個位置切過軸；一個重根表示它只在其頂點觸及軸；而複根表示拋物線完全沒有到達軸。您隨時可以將實根代回原方程式來驗證，結果應該回傳零。
常見的錯誤包括將 a 輸入為零（這根本不是二次方程式，而是線性方程式），以及在抄寫係數時漏掉負號（這會悄悄改變答案）。人們有時也會忘記在公式內做減法可能會翻轉正負號，以及負的判別式並不表示沒有解，只表示解是複數而非實數。
常見問題
判別式是 b^2 - 4ac，即二次公式中平方根底下的部分。它告訴您根的性質：正值表示兩個相異實根，零表示一個重根（實根），負值表示兩個共軛複根。
那麼它根本不是二次方程式，而是線性方程式 bx + c = 0，只有單一解 x = -c/b。真正的二次方程式要求 a 非零，否則 x^2 項消失，二次公式便無法套用。
可以，當判別式正好等於零時。在這種情況下，公式給出單一重根 x = -b/(2a)，在幾何上拋物線只在其頂點觸及水平軸，而非穿過它。
它表示方程式沒有實數解，但有兩個複數解，寫成形如 p 加或減 qi 的共軛形式。拋物線從不穿過水平軸，但這些根仍存在於複數系統之內。
將它代回原方程式 ax^2 + bx + c。若該值是真正的根，式子應計算為零（或極接近零，容許捨入誤差）。這對兩個實根都適用。
對於 ax^2 + bx + c = 0，兩根之和為 -b/a，乘積為 c/a。這些關係（稱為韋達定理）提供了一種快速核對求解器輸出的方法，而無需重做整個計算。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 二次方程式求解器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/quadratic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "二次方程式求解器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/quadratic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "二次方程式求解器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/quadratic-equation-solver
@misc{wecalculate_quadratic_equation_solver, title = {二次方程式求解器}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/quadratic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
這個計算機對您有幫助嗎？