向量夾角計算機
輸入兩個等長向量的分量，以度數和弧度求得它們之間的夾角。
Computed from the dot product formula
- 1
Dot product a·b
1×1 + 0×1 + 0×0 = 1 - 2
Magnitude |a|
√(1² + 0² + 0²) = 1 - 3
Magnitude |b|
√(1² + 1² + 0²) = 1.4142 - 4
cos θ = a·b ÷ (|a| × |b|)
1 ÷ (1 × 1.4142) = 0.7071 - 5
Angle θ = arccos(cos θ) × 180 ÷ π
arccos(0.7071) × 180 ÷ π = 45
此計算機如何運作？
要求兩個向量之間的夾角，取其點積除以兩者模長之積得 cos θ，再取反餘弦。結果在 0° 到 180° 之間，可告知向量是同向（0°）、垂直（90°）還是反向（180°）。
公式
How this is calculated
以逗號或空格分隔的數字分量列表輸入向量 a 和 b。兩個向量的分量數必須相同（維度相同），且均不能為零向量，因為當模長為零時，夾角無法定義。
計算機首先計算點積 a·b = Σ aᵢbᵢ 以及模長 |a| = √(Σ aᵢ²) 和 |b| = √(Σ bᵢ²)。夾角的餘弦值為 cos θ = (a·b) / (|a| × |b|)。此值在數學上位於 [-1, 1] 範圍內，但浮點數捨入可能使其略微超出此範圍，因此在取反餘弦之前會將其夾限到 [-1, 1]。
最後 θ = arccos(cos θ) 給出弧度角，再用 θ° = θ × 180 / π 轉換為度數。結果始終在 0° 到 180° 之間：0° 表示向量方向相同，90° 表示垂直（正交），180° 表示方向相反。
常見問題
點積僅對維度相同的向量有定義，因此兩個向量必須具有相同數量的分量。若維度不同，計算機無法計算夾角。
反餘弦函數的返回值範圍為 0 到 π 弧度（0° 到 180°）。這表示兩個向量之間最小的非方向性夾角，與它們在空間中的方向無關。
90° 的夾角表示點積為零，因此向量彼此正交（垂直）。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 向量夾角計算機 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/angle-between-vectors-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "向量夾角計算機." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/angle-between-vectors-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "向量夾角計算機," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/angle-between-vectors-calculator
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這個計算機對您有幫助嗎？