RREF-Rechner (reduzierte Zeilenstufenform)
Reduziere jede m×n-Matrix mit dem Gauß-Jordan-Verfahren und Teilpivotisierung auf ihre eindeutige reduzierte Zeilenstufenform.
3
rankPivot columns (rank)
75%
Free columns (nullity)
25%
Wie funktioniert dieser Rechner?
Gib eine Matrix Zeile für Zeile ein, und dieses Werkzeug wendet das Gauß-Jordan-Verfahren mit Teilpivotisierung an, um ihre eindeutige reduzierte Zeilenstufenform zu liefern. Es gibt außerdem die Pivot-Spalten, den Rang (Anzahl der Pivots) und die Dimension des Kerns an, sodass du Lösbarkeit, Unabhängigkeit und Dimension auf einen Blick analysieren kannst.
Formel
How this is calculated
Gib die Matrix A als Text mit einer Zeile pro Zeile ein und trenne die Einträge durch Leerzeichen oder Kommas. Der Rechner zerlegt sie in ein m×n-Gitter und überprüft, ob jede Zeile dieselbe Länge hat, andernfalls wird die Eingabe abgelehnt. Jeder numerische Eintrag muss endlich sein.
Das Gauß-Jordan-Verfahren bearbeitet dann die Spalten von links nach rechts. Für die aktuelle Pivot-Position wendet es Teilpivotisierung an: Es durchsucht die aktuelle Spalte an und unterhalb der Pivot-Zeile und wählt den Eintrag mit dem größten Betrag, wobei diese Zeile für numerische Stabilität nach oben getauscht wird. Ist der größte Betrag in der Spalte praktisch null (unter einer Toleranz von 1e-10), hat die Spalte keinen Pivot und wird übersprungen. Andernfalls wird die Pivot-Zeile durch Teilen durch den Pivot-Wert normalisiert, und Vielfache davon werden von jeder anderen Zeile subtrahiert, sodass die Pivot-Spalte eine einzelne 1 mit Nullen sonst enthält.
Das Ergebnis ist die eindeutige reduzierte Zeilenstufenform. Die Pivot-Spalten kennzeichnen die Basisvariablen, der Rang ist gleich der Anzahl der Pivots, und die Dimension des Kerns (Anzahl der freien Spalten) ist die Spaltenzahl minus dem Rang. Werte innerhalb der Rundungstoleranz werden auf genau 0 gesetzt, um Gleitkommarauschen und Negativ-Null-Artefakte zu entfernen.
Häufige Fragen
Die Zeilenstufenform verlangt nur Nullen unterhalb jedes führenden Eintrags. Die reduzierte Zeilenstufenform geht weiter: Jeder Pivot ist 1 und der einzige von null verschiedene Eintrag in seiner Spalte, was das Ergebnis für eine gegebene Matrix eindeutig macht.
Der Rang ist die Anzahl der Pivot-Spalten, ebenfalls direkt angezeigt. Er ist gleich der Anzahl der von null verschiedenen Zeilen in der RREF und gibt die Dimension des Zeilen- und Spaltenraums an.
Ja. Hänge die Konstanten als zusätzliche Spalte an. Nach der Reduktion geben die Pivot-Spalten unter den Variablenspalten die gelösten Variablen an, und ein Pivot in der letzten Spalte signalisiert ein widersprüchliches (lösungsloses) System.
Auch bekannt als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). RREF-Rechner (reduzierte Zeilenstufenform) [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/de/calculator/rref-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "RREF-Rechner (reduzierte Zeilenstufenform)." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/de/calculator/rref-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "RREF-Rechner (reduzierte Zeilenstufenform)," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/de/calculator/rref-calculator
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