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Calculateur de forme échelonnée réduite (RREF)

Réduisez n'importe quelle matrice m×n à sa forme échelonnée réduite unique à l'aide de l'élimination de Gauss-Jordan avec pivot partiel.
Any m×n matrix; every row must have the same number of entries.
Reduced row echelon form (RREF)
[ 1, 0, 0, 2 ] [ 0, 1, 0, 3 ] [ 0, 0, 1, -1 ]

3

rank

Pivot columns (rank)

75%

Free columns (nullity)

25%

Dimensions
3 × 4
Rank
3
Nullity
1
Pivot columns
1, 2, 3
Les résultats sont des estimations fournies à titre d’information générale uniquement et ne constituent pas un avis professionnel — vérifiez toujours les résultats importants de manière indépendante avant de vous y fier. Lire l’avertissement complet.
Réponse rapide

Comment fonctionne cette calculatrice ?

Saisissez une matrice ligne par ligne et cet outil applique l'élimination de Gauss-Jordan avec pivot partiel pour renvoyer sa forme échelonnée réduite unique. Il rapporte aussi les colonnes pivots, le rang (nombre de pivots) et la nullité, pour analyser d'un coup d'œil la résolubilité, l'indépendance et la dimension.

Formule
Pour chaque pivot : amenez la ligne ayant le plus grand |élément| dans la colonne, divisez la ligne du pivot par le pivot, puis soustrayez des multiples de celle-ci à toutes les autres lignes pour que la colonne du pivot devienne un vecteur unité.
How this is calculated

Saisissez la matrice A en texte avec une ligne par ligne et les éléments séparés par des espaces ou des virgules. Le calculateur l'analyse en une grille m×n et vérifie que chaque ligne a la même longueur, sinon l'entrée est rejetée. Chaque élément numérique doit être fini.

L'élimination de Gauss-Jordan traite ensuite les colonnes de gauche à droite. Pour la position de pivot courante, elle applique le pivot partiel : elle examine la colonne courante au niveau et en dessous de la ligne du pivot et sélectionne l'élément de plus grande valeur absolue, en échangeant cette ligne vers le haut pour la stabilité numérique. Si la plus grande magnitude de la colonne est effectivement nulle (sous une tolérance de 1e-10), la colonne n'a pas de pivot et est ignorée. Sinon, la ligne du pivot est normalisée en la divisant par la valeur du pivot, et des multiples de celle-ci sont soustraits de toutes les autres lignes pour que la colonne du pivot contienne un seul 1 avec des zéros ailleurs.

Le résultat est la forme échelonnée réduite unique. Les colonnes pivots identifient les variables de base, le rang est égal au nombre de pivots, et la nullité (nombre de colonnes libres) est le nombre de colonnes moins le rang. Les valeurs comprises dans la tolérance d'arrondi sont ramenées exactement à 0 pour supprimer le bruit en virgule flottante et les artefacts de zéro négatif.

Questions fréquentes

La forme échelonnée en lignes exige seulement des zéros sous chaque élément dominant. La forme échelonnée réduite va plus loin : chaque pivot vaut 1 et est le seul élément non nul de sa colonne, ce qui rend le résultat unique pour une matrice donnée.

Le rang est le nombre de colonnes pivots, également affiché directement. Il est égal au nombre de lignes non nulles dans la RREF et indique la dimension des espaces des lignes et des colonnes.

Oui. Ajoutez les constantes en colonne supplémentaire. Après réduction, les colonnes pivots parmi les colonnes de variables donnent les variables résolues, et un pivot dans la dernière colonne signale un système incompatible (sans solution).

Aussi appelé

forme échelonnée réduite
rref
gauss jordan
réduction de matrice
pivot de gauss
échelonner matrice

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Calculateur de forme échelonnée réduite (RREF) [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/fr/calculator/rref-calculator

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Calculateur de forme échelonnée réduite (RREF)." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/fr/calculator/rref-calculator.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Calculateur de forme échelonnée réduite (RREF)," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/fr/calculator/rref-calculator

BibTeX

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