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Calculateur de produit mixte

Calculez a·(b×c) pour trois vecteurs 3D et le volume du parallélépipède qu'ils engendrent.
Enter three numbers separated by commas or spaces
Scalar triple product a·(b×c)
6

Equals the signed determinant det[a; b; c].

Parallelepiped volume
6
Cross product b×c
(6, 0, 0)
Orientation
Right-handed (positive)
bcRb × c cross product (x–y projection) — the resultant points perpendicular to b and c
Step by step
  1. 1

    Cross product b×c: i

    b₂·c₃ − b₃·c₂ = 2·3 − 0·0 = 6
  2. 2

    Cross product b×c: j

    b₃·c₁ − b₁·c₃ = 0·0 − 0·3 = 0
  3. 3

    Cross product b×c: k

    b₁·c₂ − b₂·c₁ = 0·0 − 2·0 = 0
  4. 4

    Scalar triple product a·(b×c)

    1·6 + 0·0 + 0·0 = 6
    Absolute value gives parallelepiped volume; sign shows orientation.
Les résultats sont des estimations fournies à titre d’information générale uniquement et ne constituent pas un avis professionnel — vérifiez toujours les résultats importants de manière indépendante avant de vous y fier. Lire l’avertissement complet.
Réponse rapide

Comment fonctionne cette calculatrice ?

Le produit mixte a·(b×c) multiplie le vecteur a par le produit vectoriel de b et c, donnant un seul nombre égal au déterminant det[a; b; c]. Sa valeur absolue est le volume du parallélépipède engendré par les trois vecteurs, et son signe révèle leur orientation ; zéro signifie qu'ils sont coplanaires.

Formule
a·(b×c) = det[a; b; c]; Volume = |a·(b×c)|
How this is calculated

Saisissez trois vecteurs 3D a, b et c, chacun avec trois composantes séparées par des virgules ou des espaces. Le calculateur forme d'abord le produit vectoriel b×c = (b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁), un vecteur perpendiculaire à la fois à b et c dont la norme est égale à l'aire du parallélogramme qu'ils engendrent.

Le produit mixte est alors le produit scalaire a·(b×c) = a₁(b×c)₁ + a₂(b×c)₂ + a₃(b×c)₃. Ce seul nombre est identique au déterminant de la matrice 3×3 dont les lignes (ou colonnes) sont a, b et c, donc il est symétrique par permutation cyclique : a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b).

Géométriquement, la valeur absolue |a·(b×c)| est le volume du parallélépipède d'arêtes a, b et c. Le signe indique l'orientation : positif pour un trièdre direct, négatif pour un trièdre indirect. Un résultat nul signifie que les trois vecteurs sont linéairement dépendants (coplanaires) et que le parallélépipède est aplati de volume nul. Toutes les entrées doivent avoir exactement trois composantes numériques ; la sortie porte les mêmes unités que les entrées, au cube.

Questions fréquentes

Cela signifie que les trois vecteurs sont coplanaires (linéairement dépendants), donc le parallélépipède qu'ils forment est dégénéré et de volume nul.

Le produit mixte est signé. Une valeur positive indique une orientation directe de a, b, c ; une valeur négative indique une orientation indirecte. Le volume est la valeur absolue.

Oui. Le produit mixte est égal au déterminant de la matrice formée en plaçant les trois vecteurs comme ses lignes (ou colonnes).

Aussi appelé

produit mixte
produit triple
volume parallélépipède
a scalaire b vectoriel c
déterminant trois vecteurs
calcul produit mixte

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Calculateur de produit mixte [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/fr/calculator/scalar-triple-product-calculator

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Calculateur de produit mixte." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/fr/calculator/scalar-triple-product-calculator.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Calculateur de produit mixte," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/fr/calculator/scalar-triple-product-calculator

BibTeX

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