घन समीकरण सॉल्वर
किसी भी घन समीकरण ax³ + bx² + cx + d = 0 के हर वास्तविक और सम्मिश्र मूल ज्ञात करें और वक्र आरेखित देखें।
- 1
Shift: t = x + b/(3a)
6 ÷ (3 × 1) = 2Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0. - 2
p = (3ac − b²) ÷ (3a²)
(3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = -1 - 3
q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)
0 ÷ 27 = 0 - 4
Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³
(0 ÷ 2)² + (-1 ÷ 3)³ = -0.0370Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
यह कैलकुलेटर कैसे काम करता है?
एक घन ax³ + bx² + cx + d = 0 के हमेशा तीन मूल होते हैं। यह सॉल्वर इसे एक अपचयित घन में घटाता है, विविक्तकर Δ = (q/2)² + (p/3)³ की जाँच करता है, फिर एक वास्तविक मूल के लिए कार्दानो का सूत्र या तीन वास्तविक मूलों के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र लागू करता है, प्रत्येक मूल सूचीबद्ध करता है और वक्र आरेखित करता है।
सूत्र
How this is calculated
चार गुणांक a, b, c और d दर्ज करें। अग्रणी गुणांक a शून्येतर होना चाहिए, अन्यथा समीकरण घन नहीं है और कैलकुलेटर कोई परिणाम नहीं लौटाता। समीकरण को पहले संकल्पनात्मक रूप से a से भाग दिया जाता है और प्रतिस्थापन x = t − b/(3a) का उपयोग करके अपचयित घन t³ + pt + q = 0 में घटाया जाता है, जहाँ p = (3ac − b²)/(3a²) और q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³)।
मूलों की प्रकृति विविक्तकर Δ = (q/2)² + (p/3)³ से निर्धारित होती है, जो −(4p³ + 27q²) के समानुपाती है। जब Δ > 0 हो तो ठीक एक वास्तविक मूल होता है, जिसकी गणना कार्दानो के सूत्र t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ) से होती है, साथ ही सम्मिश्र मूलों का एक संयुग्मी युग्म। जब Δ ≤ 0 हो तो तीनों मूल वास्तविक होते हैं और स्थिर त्रिकोणमितीय सूत्र t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3), k = 0, 1, 2 के लिए, से ज्ञात किए जाते हैं।
प्रत्येक t को x प्राप्त करने के लिए −b/(3a) से वापस स्थानांतरित किया जाता है। सम्मिश्र मूल एक वास्तविक भाग जमा या ऋण एक काल्पनिक भाग (…i) के रूप में दिखाए जाते हैं। ग्राफ़ y = ax³ + bx² + cx + d को वास्तविक मूलों तक फैली एक खिड़की में आरेखित करता है, जहाँ प्रत्येक x-अक्ष प्रतिच्छेदन एक वास्तविक हल को चिह्नित करता है। परिणाम फ़्लोटिंग-पॉइंट पूर्णांकन तक सटीक होते हैं; बहुत बड़े गुणांक अनुपात छोटी संख्यात्मक त्रुटि ला सकते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि a = 0 हो तो x³ पद लुप्त हो जाता है और समीकरण द्विघात (या उससे निम्न) हो जाता है, घन नहीं, इसलिए घन विधि लागू नहीं होती। इसके बजाय द्विघात सॉल्वर का उपयोग करें।
वास्तविक गुणांकों वाले प्रत्येक घन के बहुलता सहित गिने जाने पर ठीक तीन मूल होते हैं: या तो तीन वास्तविक मूल, या एक वास्तविक मूल और सम्मिश्र-संयुग्मी मूलों का एक युग्म।
Δ > 0 का अर्थ है एक वास्तविक और दो सम्मिश्र मूल; Δ = 0 का अर्थ है एक पुनरावृत्त वास्तविक मूल; Δ < 0 का अर्थ है तीन भिन्न वास्तविक मूल।
इस नाम से भी जाना जाता है
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). घन समीकरण सॉल्वर [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/hi/calculator/cubic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "घन समीकरण सॉल्वर." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/hi/calculator/cubic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "घन समीकरण सॉल्वर," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/hi/calculator/cubic-equation-solver
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