Derdegraadsvergelijking oplosser
Vind elke reële en complexe wortel van elke derdegraadsvergelijking ax³ + bx² + cx + d = 0 en zie de kromme getekend.
- 1
Shift: t = x + b/(3a)
6 ÷ (3 × 1) = 2Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0. - 2
p = (3ac − b²) ÷ (3a²)
(3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = -1 - 3
q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)
0 ÷ 27 = 0 - 4
Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³
(0 ÷ 2)² + (-1 ÷ 3)³ = -0,0370Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
Hoe werkt deze rekenmachine?
Een derdegraadsvergelijking ax³ + bx² + cx + d = 0 heeft altijd drie wortels. Deze oplosser reduceert ze tot een gereduceerde derdegraadsvergelijking, controleert de discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³, en past dan de formule van Cardano toe voor één reële wortel of een trigonometrische formule voor drie reële wortels, waarbij elke wortel wordt vermeld en de kromme wordt getekend.
Formule
How this is calculated
Voer de vier coëfficiënten a, b, c en d in. De leidende coëfficiënt a moet ongelijk aan nul zijn, anders is de vergelijking niet van de derde graad en geeft de calculator geen resultaat. De vergelijking wordt eerst conceptueel door a gedeeld en gereduceerd tot een gereduceerde derdegraadsvergelijking t³ + pt + q = 0 met de substitutie x = t − b/(3a), waarbij p = (3ac − b²)/(3a²) en q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).
De aard van de wortels wordt bepaald door de discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³, die evenredig is met −(4p³ + 27q²). Wanneer Δ > 0 is er precies één reële wortel, berekend met de formule van Cardano t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ), plus een geconjugeerd paar complexe wortels. Wanneer Δ ≤ 0 zijn alle drie de wortels reëel en worden ze gevonden met de stabiele trigonometrische formule t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3) voor k = 0, 1, 2.
Elke t wordt teruggeschoven met −b/(3a) om x te verkrijgen. Complexe wortels worden getoond als een reëel deel plus of min een imaginair deel (…i). De grafiek tekent y = ax³ + bx² + cx + d over een venster dat de reële wortels omspant, waar elk snijpunt met de x-as een reële oplossing markeert. Resultaten zijn exact tot op afronding van drijvende komma; zeer grote verhoudingen van coëfficiënten kunnen kleine numerieke fouten introduceren.
Veelgestelde vragen
Als a = 0 verdwijnt de x³-term en is de vergelijking kwadratisch (of lager), niet van de derde graad, dus de derdegraadsmethode is niet van toepassing. Gebruik in plaats daarvan een kwadratische oplosser.
Elke derdegraadsvergelijking met reële coëfficiënten heeft precies drie wortels, geteld met multipliciteit: ofwel drie reële wortels, ofwel één reële wortel en een paar complex-geconjugeerde wortels.
Δ > 0 betekent één reële en twee complexe wortels; Δ = 0 betekent een herhaalde reële wortel; Δ < 0 betekent drie verschillende reële wortels.
Ook bekend als
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Derdegraadsvergelijking oplosser [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/nl/calculator/cubic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Derdegraadsvergelijking oplosser." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/nl/calculator/cubic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Derdegraadsvergelijking oplosser," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/nl/calculator/cubic-equation-solver
@misc{wecalculate_cubic_equation_solver, title = {Derdegraadsvergelijking oplosser}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/nl/calculator/cubic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Heeft deze rekenmachine je geholpen?