Calculadora de Derivada Direcional
Descubra a rapidez com que uma função f(x, y) muda em um ponto ao se mover ao longo de uma direção especificada.
Function f(x, y)
Rate of change of f along the chosen unit direction.
- 1
Direction magnitude |u|
√(3² + 4²) = 5 - 2
Unit direction û = u ÷ |u|
(3 ÷ 5, 4 ÷ 5) = (0,6, 0,8) - 3
∂f/∂x (central-difference estimate)
2[f(x+h, y) − f(x−h, y)] ÷ (2h), h = 1×10⁻⁵. - 4
∂f/∂y (central-difference estimate)
4 - 5
Dᵤf = ∂f/∂x × û₁ + ∂f/∂y × û₂
2 × 0,6 + 4 × 0,8 = 4,4000
Como esta calculadora funciona?
A derivada direcional D_u f mede a rapidez com que f(x, y) muda em um ponto ao se mover em uma direção escolhida. Ela é igual ao gradiente ∇f = (fx, fy) multiplicado escalarmente pelo vetor unitário de direção û. Esta ferramenta estima o gradiente por diferenças centrais, normaliza seu vetor e reporta D_u f juntamente com as derivadas parciais.
Fórmula
How this is calculated
Escolha uma função f(x, y) e um ponto (x, y), e então forneça um vetor de direção (u1, u2). A calculadora primeiro estima o gradiente ∇f = (fx, fy) usando o quociente de diferença simétrica (central) com um pequeno passo h = 1e-5: fx ≈ [f(x+h, y) − f(x−h, y)] / (2h) e fy ≈ [f(x, y+h) − f(x, y−h)] / (2h). As diferenças centrais são usadas porque seu erro é O(h²), tornando-as muito mais precisas do que as diferenças unilaterais.
A direção é então normalizada para um vetor unitário û = (u1, u2) / √(u1² + u2²), pois a derivada direcional é definida para uma direção de comprimento unitário. O resultado é o produto escalar D_u f = ∇f · û = fx·û1 + fy·û2, que fornece a taxa instantânea de variação de f no ponto nessa direção.
As unidades seguem f: D_u f tem as unidades de f por comprimento unitário percorrido. Se o vetor de direção for o vetor zero, seu comprimento é zero e o resultado é indefinido, portanto esse caso não retorna nenhuma resposta. A derivada direcional máxima possível em um ponto é igual à magnitude do gradiente |∇f| e ocorre na direção do próprio gradiente; mover-se perpendicularmente ao gradiente fornece zero.
Perguntas frequentes
A derivada direcional é definida ao longo de uma direção unitária. Normalizar (u1, u2) pelo seu comprimento elimina o efeito da magnitude do vetor, de modo que o resultado reflita apenas a direção, não o comprimento do vetor.
Diferenças centrais com h = 1e-5 têm erro proporcional a h², portanto para funções suaves o gradiente é tipicamente preciso em muitos algarismos significativos, coincidindo de perto com as derivadas parciais analíticas exatas.
A direção do próprio gradiente ∇f, onde D_u f é igual à magnitude do gradiente |∇f|. A direção oposta fornece o valor mais negativo, e direções perpendiculares a ∇f fornecem zero.
Também conhecido como
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Calculadora de Derivada Direcional [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pt/calculator/directional-derivative-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Calculadora de Derivada Direcional." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pt/calculator/directional-derivative-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Calculadora de Derivada Direcional," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pt/calculator/directional-derivative-calculator
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