Калькулятор кофакторів та приєднаної матриці
Обчисліть матрицю кофакторів, приєднану (спряжену) матрицю та визначник квадратної матриці 2×2 або 3×3.
Invertible when det(A) is nonzero
- 1
Cofactor C₁₁
4 × 6 − 5 × 0 = 24 - 2
Cofactor C₁₂ (sign −)
−(0 × 6 − 5 × 1) = 5 - 3
Cofactor C₁₃
0 × 0 − 4 × 1 = -4 - 4
Determinant (first-row expansion)
1 × 24 + 2 × 5 + 3 × -4 = 22det(A) = A₁₁·C₁₁ + A₁₂·C₁₂ + A₁₃·C₁₃
Як працює цей калькулятор?
Для матриці 2×2 або 3×3 кожен кофактор Cᵢⱼ дорівнює (-1)^(i+j), помноженому на мінор (визначник після видалення рядка i та стовпця j). Матриця кофакторів містить усі Cᵢⱼ; приєднана матриця — її транспонована, adj(A) = Cᵀ. При det(A) ≠ 0 обернена матриця дорівнює adj(A)/det(A).
Формула
How this is calculated
Введіть квадратну матрицю A по одному рядку на кожному рядку, використовуючи пробіли або коми для розділення елементів. Калькулятор приймає матриці 2×2 і 3×3; кожен рядок повинен мати довжину, рівну кількості рядків.
Для кожної позиції (i, j) видаляється рядок i та стовпець j для формування меншої підматриці, потім знаходиться її визначник — це мінор Mᵢⱼ. Кофактор — Cᵢⱼ = (-1)^(i+j)·Mᵢⱼ, тому знаки чергуються за шаховим принципом, починаючи з + у лівому верхньому куті. Сукупність усіх Cᵢⱼ утворює матрицю кофакторів C.
Приєднана (спряжена) матриця, adj(A), є транспонованою матрицею кофакторів: adj(A) = Cᵀ. Визначник знаходиться розкладанням по першому рядку: det(A) = Σⱼ A₀ⱼ·C₀ⱼ. При det(A) ≠ 0 обернена матриця — A⁻¹ = adj(A)/det(A). Всі елементи безрозмірні; якщо det(A) = 0, матриця вироджена і не має оберненої, хоча матриця кофакторів і приєднана матриця все одно існують.
Поширені запитання
Матриця кофакторів містить кожен знакований мінор Cᵢⱼ на його початковій позиції. Приєднана (спряжена) матриця — це просто її транспонована, adj(A) = Cᵀ, тому рядки та стовпці міняються місцями.
Для будь-якої оборотної матриці A⁻¹ = adj(A) / det(A). Приєднана матриця дає чисельники, а визначник — спільний знаменник.
Цей інструмент підтримує лише квадратні матриці 2×2 і 3×3. Неквадратні вхідні дані або рядки нерівної довжини не дадуть результату.
Також відомий як
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор кофакторів та приєднаної матриці [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/matrix-cofactor-adjugate-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор кофакторів та приєднаної матриці." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/matrix-cofactor-adjugate-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор кофакторів та приєднаної матриці," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/matrix-cofactor-adjugate-calculator
@misc{wecalculate_matrix_cofactor_adjugate_calculator, title = {Калькулятор кофакторів та приєднаної матриці}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/matrix-cofactor-adjugate-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Чи допоміг вам цей калькулятор?