Калькулятор мішаного добутку векторів
Обчисліть a·(b×c) для трьох 3D-векторів та об'єм паралелепіпеда, який вони охоплюють.
Equals the signed determinant det[a; b; c].
- 1
Cross product b×c: i
b₂·c₃ − b₃·c₂ = 2·3 − 0·0 = 6 - 2
Cross product b×c: j
b₃·c₁ − b₁·c₃ = 0·0 − 0·3 = 0 - 3
Cross product b×c: k
b₁·c₂ − b₂·c₁ = 0·0 − 2·0 = 0 - 4
Scalar triple product a·(b×c)
1·6 + 0·0 + 0·0 = 6Absolute value gives parallelepiped volume; sign shows orientation.
Як працює цей калькулятор?
Мішаний добуток a·(b×c) множить вектор a на векторний добуток b і c, даючи одне число, що дорівнює визначнику det[a; b; c]. Його абсолютне значення — це об'єм паралелепіпеда, натягнутого на три вектори, а знак вказує на їхню орієнтацію; нуль означає, що вектори компланарні.
Формула
How this is calculated
Введіть три 3D-вектори a, b та c, кожен з трьома компонентами, розділеними комами або пробілами. Спочатку калькулятор обчислює векторний добуток b×c = (b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁) — вектор, перпендикулярний до b і c, довжина якого дорівнює площі паралелограма, утвореного ними.
Мішаний добуток — це скалярний добуток a·(b×c) = a₁(b×c)₁ + a₂(b×c)₂ + a₃(b×c)₃. Це одне число тотожне визначнику матриці 3×3, рядками (або стовпцями) якої є a, b та c, тому воно симетричне відносно циклічних перестановок: a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b).
Геометрично абсолютне значення |a·(b×c)| — це об'єм паралелепіпеда з ребрами a, b та c. Знак вказує на орієнтацію: додатний — для правої трійки, від'ємний — для лівої. Результат нуль означає, що три вектори лінійно залежні (компланарні) і паралелепіпед вироджений з нульовим об'ємом. Усі вхідні дані повинні мати рівно три числових компоненти; вихідне значення матиме одиниці, зведені в куб відповідно до вхідних.
Поширені запитання
Це означає, що три вектори компланарні (лінійно залежні), тому паралелепіпед, який вони утворюють, вироджений і має нульовий об'єм.
Мішаний добуток є знаковим. Додатне значення вказує на праву орієнтацію векторів a, b, c; від'ємне — на ліву. Об'єм дорівнює абсолютному значенню.
Так. Мішаний добуток дорівнює визначнику матриці, утвореної розміщенням трьох векторів як її рядків (або стовпців).
Також відомий як
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Калькулятор мішаного добутку векторів [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/uk/calculator/scalar-triple-product-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Калькулятор мішаного добутку векторів." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/uk/calculator/scalar-triple-product-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Калькулятор мішаного добутку векторів," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/uk/calculator/scalar-triple-product-calculator
@misc{wecalculate_scalar_triple_product_calculator, title = {Калькулятор мішаного добутку векторів}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/uk/calculator/scalar-triple-product-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
Чи допоміг вам цей калькулятор?