三次方程式求解器
求任意三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 的所有實數根和複數根，並查看繪製的曲線。
- 1
Shift: t = x + b/(3a)
6 ÷ (3 × 1) = 2Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0. - 2
p = (3ac − b²) ÷ (3a²)
(3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = -1 - 3
q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)
0 ÷ 27 = 0 - 4
Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³
(0 ÷ 2)² + (-1 ÷ 3)³ = -0.0370Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
此計算機如何運作？
三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 始終有三個根。本求解器將其化簡為降次三次式，檢查判別式 Δ = (q/2)² + (p/3)³，然後應用 Cardano 公式求一個實根或三角公式求三個實根，列出每個根並繪製曲線。
公式
How this is calculated
輸入四個係數 a、b、c 和 d。首項係數 a 必須不為零，否則方程式不是三次的，計算機不返回結果。方程式首先在概念上除以 a，並使用代換 x = t − b/(3a) 化簡為降次三次式 t³ + pt + q = 0，其中 p = (3ac − b²)/(3a²)，q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³)。
根的性質由判別式 Δ = (q/2)² + (p/3)³（與 −(4p³ + 27q²) 成正比）決定。當 Δ > 0 時，恰好有一個實根，用 Cardano 公式 t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ) 計算，另加一對共軛複數根。當 Δ ≤ 0 時，三個根均為實數，用穩定的三角公式 t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3)（k = 0, 1, 2）計算。
每個 t 通過加 −b/(3a) 還原為 x。複數根顯示為實部加減虛部（…i）的形式。圖形在跨越實根的視窗內繪製 y = ax³ + bx² + cx + d，每個 x 軸交叉點標記一個實解。結果精確到浮點數捨入誤差；非常大的係數比值可能引入小的數值誤差。
常見問題
若 a = 0，x³ 項消失，方程式為二次（或更低次），不是三次，因此三次方法不適用。改用二次方程求解器。
每個實係數三次方程恰好有三個根（含重數計算）：要麼是三個實根，要麼是一個實根和一對共軛複數根。
Δ > 0 表示一個實根和兩個複數根；Δ = 0 表示重實根；Δ < 0 表示三個不同的實根。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 三次方程式求解器 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/cubic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "三次方程式求解器." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/cubic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "三次方程式求解器," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/cubic-equation-solver
@misc{wecalculate_cubic_equation_solver, title = {三次方程式求解器}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/cubic-equation-solver}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
這個計算機對您有幫助嗎？