餘因子矩陣與伴隨矩陣計算機
計算 2×2 或 3×3 方陣的餘因子矩陣、伴隨矩陣及行列式。
Invertible when det(A) is nonzero
- 1
Cofactor C₁₁
4 × 6 − 5 × 0 = 24 - 2
Cofactor C₁₂ (sign −)
−(0 × 6 − 5 × 1) = 5 - 3
Cofactor C₁₃
0 × 0 − 4 × 1 = -4 - 4
Determinant (first-row expansion)
1 × 24 + 2 × 5 + 3 × -4 = 22det(A) = A₁₁·C₁₁ + A₁₂·C₁₂ + A₁₃·C₁₃
此計算機如何運作？
對於 2×2 或 3×3 矩陣，每個餘因子 Cᵢⱼ 等於 (-1)^(i+j) 乘以子式（刪除第 i 行和第 j 列後的行列式）。餘因子矩陣收集所有 Cᵢⱼ；伴隨矩陣是其轉置，adj(A) = Cᵀ。當 det(A) ≠ 0 時，逆矩陣等於 adj(A)/det(A)。
公式
How this is calculated
以文字形式輸入方陣 A，每行放一行，元素之間以空格或逗號分隔。計算機接受 2×2 和 3×3 矩陣；每行的長度必須等於行數。
對於每個位置 (i, j)，刪除第 i 行和第 j 列以形成較小的子矩陣，然後取其行列式——這就是子式 Mᵢⱼ。餘因子為 Cᵢⱼ = (-1)^(i+j)·Mᵢⱼ，因此符號以棋盤格模式交替，左上角以 + 開始。收集所有 Cᵢⱼ 即得餘因子矩陣 C。
伴隨矩陣（也稱為轉置餘因子矩陣），adj(A)，是餘因子矩陣的轉置：adj(A) = Cᵀ。行列式通過沿第一行展開求得，det(A) = Σⱼ A₀ⱼ·C₀ⱼ。當 det(A) ≠ 0 時，逆矩陣為 A⁻¹ = adj(A)/det(A)。所有元素無單位；若 det(A) = 0，則矩陣為奇異矩陣，沒有逆矩陣，但餘因子矩陣和伴隨矩陣仍然存在。
常見問題
餘因子矩陣將每個帶符號的子式 Cᵢⱼ 放在其原始位置。伴隨矩陣（轉置餘因子矩陣）只是其轉置，adj(A) = Cᵀ，即行與列互換。
對於任何可逆矩陣，A⁻¹ = adj(A) / det(A)。伴隨矩陣提供分子，行列式是公分母。
此工具僅支援 2×2 和 3×3 方陣。非方陣輸入或行長不等的情況將不會產生結果。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 餘因子矩陣與伴隨矩陣計算機 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/matrix-cofactor-adjugate-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "餘因子矩陣與伴隨矩陣計算機." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/matrix-cofactor-adjugate-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "餘因子矩陣與伴隨矩陣計算機," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/matrix-cofactor-adjugate-calculator
@misc{wecalculate_matrix_cofactor_adjugate_calculator, title = {餘因子矩陣與伴隨矩陣計算機}, author = {{TG we-Calculate Editorial Team}}, howpublished = {\url{https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/matrix-cofactor-adjugate-calculator}}, year = {2026}, note = {TG we-Calculate} }
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