純量三重積計算機
計算三個三維向量的 a·(b×c) 及其所張成的平行六面體的體積。
Equals the signed determinant det[a; b; c].
- 1
Cross product b×c: i
b₂·c₃ − b₃·c₂ = 2·3 − 0·0 = 6 - 2
Cross product b×c: j
b₃·c₁ − b₁·c₃ = 0·0 − 0·3 = 0 - 3
Cross product b×c: k
b₁·c₂ − b₂·c₁ = 0·0 − 2·0 = 0 - 4
Scalar triple product a·(b×c)
1·6 + 0·0 + 0·0 = 6Absolute value gives parallelepiped volume; sign shows orientation.
此計算機如何運作？
純量三重積 a·(b×c) 是向量 a 與 b 和 c 的叉積的點積，得出一個等於行列式 det[a; b; c] 的單一數字。其絕對值是三個向量所張成的平行六面體的體積，其符號揭示它們的手性；零表示它們共面。
公式
How this is calculated
輸入三個三維向量 a、b 和 c，每個向量由三個用逗號或空格分隔的分量組成。計算機首先計算叉積 b×c = (b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁)，這是一個同時垂直於 b 和 c 的向量，其大小等於它們所張成的平行四邊形的面積。
純量三重積即點積 a·(b×c) = a₁(b×c)₁ + a₂(b×c)₂ + a₃(b×c)₃。這個單一數字等同於以 a、b、c 為行（或列）的 3×3 矩陣的行列式，因此在循環置換下具有對稱性：a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)。
從幾何角度看，|a·(b×c)| 的絕對值是以 a、b、c 為邊的平行六面體的體積。符號表示方向：正值為右手系，負值為左手系。結果為零表示三個向量線性相關（共面），平行六面體退化為零體積。所有輸入必須恰好有三個數值分量；輸出的單位是輸入單位的三次方。
常見問題
表示三個向量共面（線性相關），因此它們構成的平行六面體是退化的，體積為零。
純量三重積是有符號的。正值表示 a、b、c 的右手方向；負值表示左手方向。體積取絕對值。
是的。純量三重積等於以三個向量為行（或列）所構成矩陣的行列式。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 純量三重積計算機 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/scalar-triple-product-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "純量三重積計算機." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/scalar-triple-product-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "純量三重積計算機," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/scalar-triple-product-calculator
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