向量投影計算機
計算向量 a 在向量 b 上的投影，返回投影向量和純量投影。
Signed length of the shadow of a along b
- 1
Dot product a·b
3 × 1 + 4 × 0 = 3Sum of component-wise products of a and b. - 2
Magnitude |b|
√(1) = 1 - 3
Scalar projection
3 ÷ 1 = 3Signed length of the shadow of a along the direction of b.
此計算機如何運作？
a 在 b 上的投影的投影向量為 (a·b / b·b)·b，純量投影為 a·b / |b|。輸入等長向量 a 和 b（b 不為零）；計算工具計算點積、b 的大小，並返回沿 b 方向的投影向量及其有符號的純量長度。
公式
How this is calculated
輸入兩個具有相同分量數的向量 a 和 b，以空格或逗號分隔。計算機將每個向量解析為數值列表，並要求長度相等且 b 不為零向量。
計算點積 a·b = Σ aᵢbᵢ 和 b·b = Σ bᵢ²。b 的大小為 |b| = √(b·b)。純量投影（a 沿 b 方向測量的有符號長度）為 a·b / |b|。投影向量 proj_b(a) = (a·b / b·b)·b 以比例 a·b / b·b 縮放 b，逐分量得出 a 沿 b 方向的分量。
當 a 與 b 方向相反時，純量投影為負；當 a 垂直於 b 時，純量投影為零。當 b 為零向量時結果未定義，因為 b·b = 0，因此此情況會被拒絕。圖形顯示 a、b 和投影的前兩個分量；更高維度的輸入仍然計算精確的數值結果。
常見問題
純量投影是單一數字 a·b / |b|，給出 a 沿 b 方向的有符號長度。向量投影 (a·b / b·b)·b 是一個實際的向量，沿 b 方向指向，具有該長度。
投影需要除以 b·b（以及 |b|）。若 b 是零向量，b·b = 0，投影未定義，因此計算機要求 b 不為零。
可以。輸入任意等長向量；數學適用於任意維度。二維圖形僅顯示前兩個分量。
也稱為
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). 向量投影計算機 [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/vector-projection-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "向量投影計算機." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/vector-projection-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "向量投影計算機," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/zh-tw/calculator/vector-projection-calculator
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