Calculadora de Números de Catalan
Encontre o n-ésimo número de Catalan e veja como a sequência 1, 1, 2, 5, 14, 42, … cresce à medida que n aumenta.
Counts balanced parentheses, full binary trees and polygon triangulations.
- 1
Seed value C₀ = 1
1 - 2
Recurrence ratio for step n
2 × (2 × 8 − 1) ÷ (8 + 1) = 3,333333Each Catalan number equals the previous term multiplied by 2(2n−1)/(n+1). - 3
Previous term C7
429 - 4
C8 = C7 × ratio
429 × 3,333333 = 1.430
Como esta calculadora funciona?
O n-ésimo número de Catalan é Cₙ = C(2n, n)/(n+1) = (2n)!/((n+1)!·n!). Ele conta parênteses balanceados, árvores binárias completas, caminhos em reticulado e triangulações de polígonos. A sequência começa 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, … e cresce aproximadamente como 4ⁿ. Insira qualquer inteiro n ≥ 0 para obter Cₙ e a curva de crescimento completa.
Fórmula
How this is calculated
Insira um inteiro não negativo n. Os números de Catalan Cₙ contam uma enorme família de objetos combinatórios: o número de maneiras de emparelhar corretamente n pares de parênteses, o número de árvores binárias completas com n+1 folhas, o número de caminhos monotônicos em reticulado que ficam abaixo da diagonal e o número de triangulações de um (n+2)-ágono convexo — todos iguais ao mesmo Cₙ.
A forma fechada é Cₙ = (2n)! / ((n+1)! · n!), equivalentemente o coeficiente binomial central C(2n, n) dividido por (n+1). Calcular fatoriais diretamente transborda rapidamente, portanto esta calculadora usa a recorrência inteira exata C₀ = 1 e C_{k+1} = C_k · 2(2k+1)/(k+2). Cada passo multiplica por um fator de valor inteiro, mantendo o valor em execução preciso enquanto a precisão dupla permitir e construindo a sequência completa C₀…Cₙ traçada na curva de crescimento.
Os valores são contagens adimensionais, portanto apenas n inteiro ≥ 0 é significativo; a entrada fracionária é arredondada para baixo. Como Cₙ cresce aproximadamente como 4ⁿ / (n^{3/2}√π), os números excedem o intervalo exato de inteiros de um float de 64 bits além de cerca de n = 30 e transbordam completamente após n ≈ 170, portanto a entrada é limitada a 170 e resultados grandes são exibidos em notação científica.
Perguntas frequentes
A sequência começa C₀ = 1, C₁ = 1, C₂ = 2, C₃ = 5, C₄ = 14, C₅ = 42, C₆ = 132, C₇ = 429 e C₈ = 1430.
Da recorrência, Cₙ/Cₙ₋₁ = 2(2n−1)/(n+1), que tende a 4 à medida que n cresce. Isso reflete o crescimento assintótico Cₙ ≈ 4ⁿ / (n^{3/2}√π).
Os números de Catalan crescem exponencialmente. Além de n ≈ 170, o valor excede o número máximo representável de dupla precisão (~1,8×10³⁰⁸), portanto entradas maiores não podem ser calculadas com exatidão usando ponto flutuante padrão.
Também conhecido como
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Calculadora de Números de Catalan [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pt/calculator/catalan-number-calculator
TG we-Calculate Editorial Team. "Calculadora de Números de Catalan." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pt/calculator/catalan-number-calculator.
TG we-Calculate Editorial Team, "Calculadora de Números de Catalan," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pt/calculator/catalan-number-calculator
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