Solucionador de Equações Cúbicas
Encontre todas as raízes reais e complexas de qualquer equação cúbica ax³ + bx² + cx + d = 0 e veja a curva representada.
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Shift: t = x + b/(3a)
6 ÷ (3 × 1) = 2Substituting x = t − b/(3a) removes the x² term, giving the depressed cubic t³ + pt + q = 0. - 2
p = (3ac − b²) ÷ (3a²)
(3 × 1 × 11 − 36) ÷ (3 × 1) = -1 - 3
q = (2b³ − 9abc + 27a²d) ÷ (27a³)
0 ÷ 27 = 0 - 4
Discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³
(0 ÷ 2)² + (-1 ÷ 3)³ = -0,0370Δ > 0: one real root; Δ < 0: three real roots; Δ = 0: repeated root.
Como esta calculadora funciona?
Uma cúbica ax³ + bx² + cx + d = 0 tem sempre três raízes. Este solucionador reduz a equação a uma cúbica reduzida, verifica o discriminante Δ = (q/2)² + (p/3)³, e depois aplica a fórmula de Cardano para uma raiz real ou uma fórmula trigonométrica para três raízes reais, listando cada raiz e representando a curva.
Fórmula
How this is calculated
Introduza os quatro coeficientes a, b, c e d. O coeficiente líder a deve ser diferente de zero, caso contrário a equação não é cúbica e a calculadora não devolve resultado. A equação é primeiro dividida conceptualmente por a e reduzida a uma cúbica reduzida t³ + pt + q = 0 usando a substituição x = t − b/(3a), onde p = (3ac − b²)/(3a²) e q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).
A natureza das raízes é determinada pelo discriminante Δ = (q/2)² + (p/3)³, que é proporcional a −(4p³ + 27q²). Quando Δ > 0 existe exatamente uma raiz real, calculada com a fórmula de Cardano t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ), mais um par conjugado de raízes complexas. Quando Δ ≤ 0 as três raízes são reais e são encontradas com a fórmula trigonométrica estável t = 2√(−p/3) · cos((1/3)·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3) para k = 0, 1, 2.
Cada t é deslocado de volta por −b/(3a) para recuperar x. As raízes complexas são apresentadas como uma parte real mais ou menos uma parte imaginária (…i). O gráfico representa y = ax³ + bx² + cx + d numa janela que abrange as raízes reais, onde cada cruzamento do eixo x marca uma solução real. Os resultados são exatos até ao arredondamento de vírgula flutuante; rácios de coeficientes muito grandes podem introduzir um pequeno erro numérico.
Perguntas frequentes
Se a = 0 o termo x³ desaparece e a equação é quadrática (ou de grau inferior), não cúbica, por isso o método cúbico não se aplica. Use antes um solucionador de quadráticas.
Toda a cúbica com coeficientes reais tem exatamente três raízes contadas com multiplicidade: ou três raízes reais, ou uma raiz real e um par de raízes complexas conjugadas.
Δ > 0 significa uma raiz real e duas complexas; Δ = 0 significa uma raiz real repetida; Δ < 0 significa três raízes reais distintas.
Também conhecido como
TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Solucionador de Equações Cúbicas [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pt/calculator/cubic-equation-solver
TG we-Calculate Editorial Team. "Solucionador de Equações Cúbicas." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pt/calculator/cubic-equation-solver.
TG we-Calculate Editorial Team, "Solucionador de Equações Cúbicas," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pt/calculator/cubic-equation-solver
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