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Calculadora de Produto Misto

Calcule a·(b×c) para três vetores 3D e o volume do paralelepípedo que geram.
Enter three numbers separated by commas or spaces
Scalar triple product a·(b×c)
6

Equals the signed determinant det[a; b; c].

Parallelepiped volume
6
Cross product b×c
(6, 0, 0)
Orientation
Right-handed (positive)
bcRb × c cross product (x–y projection) — the resultant points perpendicular to b and c
Step by step
  1. 1

    Cross product b×c: i

    b₂·c₃ − b₃·c₂ = 2·3 − 0·0 = 6
  2. 2

    Cross product b×c: j

    b₃·c₁ − b₁·c₃ = 0·0 − 0·3 = 0
  3. 3

    Cross product b×c: k

    b₁·c₂ − b₂·c₁ = 0·0 − 2·0 = 0
  4. 4

    Scalar triple product a·(b×c)

    1·6 + 0·0 + 0·0 = 6
    Absolute value gives parallelepiped volume; sign shows orientation.
Os resultados são estimativas apenas para informação geral e não constituem aconselhamento profissional — sempre verifique resultados importantes de forma independente antes de confiar neles. Leia o aviso legal completo.
Resposta rápida

Como esta calculadora funciona?

O produto misto a·(b×c) multiplica o vetor a pelo produto vetorial de b e c, dando um único número igual ao determinante det[a; b; c]. O seu valor absoluto é o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores, e o seu sinal revela a sua orientação; zero significa que são coplanares.

Fórmula
a·(b×c) = det[a; b; c]; Volume = |a·(b×c)|
How this is calculated

Introduza três vetores 3D a, b e c, cada um com três componentes separadas por vírgulas ou espaços. A calculadora forma primeiro o produto vetorial b×c = (b₂c₃−b₃c₂, b₃c₁−b₁c₃, b₁c₂−b₂c₁), um vetor perpendicular tanto a b como a c cuja magnitude é igual à área do paralelogramo que eles geram.

O produto misto é então o produto escalar a·(b×c) = a₁(b×c)₁ + a₂(b×c)₂ + a₃(b×c)₃. Este único número é idêntico ao determinante da matriz 3×3 cujas linhas (ou colunas) são a, b e c, por isso é simétrico sob permutação cíclica: a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b).

Geometricamente, o valor absoluto |a·(b×c)| é o volume do paralelepípedo com arestas a, b e c. O sinal indica a orientação: positivo para um triplo dextrógiro, negativo para um levógiro. Um resultado de zero significa que os três vetores são linearmente dependentes (coplanares) e o paralelepípedo é plano com volume zero. Todas as entradas devem ter exatamente três componentes numéricas; a saída tem as mesmas unidades das entradas ao cubo.

Perguntas frequentes

Significa que os três vetores são coplanares (linearmente dependentes), por isso o paralelepípedo que formam é degenerado e tem volume zero.

O produto misto tem sinal. Um valor positivo indica uma orientação dextrógira de a, b, c; um valor negativo indica uma orientação levógira. O volume é o valor absoluto.

Sim. O produto misto é igual ao determinante da matriz formada colocando os três vetores como as suas linhas (ou colunas).

Também conhecido como

produto misto
produto triplo escalar
volume do paralelepípedo
a escalar b vetorial c
produto misto vetores
scalar triple product
triple product
parallelepiped volume

APA

TG we-Calculate Editorial Team. (2026). Calculadora de Produto Misto [Online calculator]. TG we-Calculate. https://we-calculate.com/pt/calculator/scalar-triple-product-calculator

Chicago

TG we-Calculate Editorial Team. "Calculadora de Produto Misto." TG we-Calculate. 2026. https://we-calculate.com/pt/calculator/scalar-triple-product-calculator.

IEEE

TG we-Calculate Editorial Team, "Calculadora de Produto Misto," TG we-Calculate, 2026. [Online]. Available: https://we-calculate.com/pt/calculator/scalar-triple-product-calculator

BibTeX

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